bzoj3675 序列分割

Posted 2020-10-04 shixinyi

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】 
在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分： 
1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。 
2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+ 3)=36分。 
3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 20分。 
经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。 

【数据规模与评分】 
数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

 

我们发现如果我们把序列分成4个部分 x₁、x₂、x₃、x₄

那么我们无论按照什么顺序分割，最后的答案都是 x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₁ * x₄ + x₂ * x₃ + x₂ * x₄ + x₃ * x₄

你会发现最终答案与分割顺序无关，只与分割位置有关。

关于要分割 k 次的 k 怎么处理，当时我问老师：这个需要开二维dp数组然后维护k个凸壳吗？ 老师说：k个也可以。。。

其实直接跑k次dp就可以了，因为每次要利用dp[j][kk-1]，我们用g来代替kk-1状态的dp数组，f来表示kk状态的dp数组，用g更新f，然后下一次dp时(kk+1状态)直接把f复制到g里。

接下来就是推式子斜率优化啦

每次从左到右多加一个分割点,答案相当于 从  x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₂ * x₃ 变到 x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₁ * x₄ + x₂ * x₃ + x₂ * x₄ + x₃ * x₄

多了 x4 * (x₁ + x₂ + x₃)

用c表示前缀和

则没加一个分割点，多了 (c[i] - c[j]) * c[j]

f[i] = g[j] + (c[i] - c[j]) * c[j]

=> f[i] = g[j] + c[i] * c[j] - c[j]²

=> f[i] - c[i] * c[j] = g[j] - c[j]²

当然当时我比较傻，当时把 j 作为上一个这一段区间的左端点定义的，而不是按上一个分割点定义的，所以代码里一堆 j-1就是 式子里的 j 啦

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10,maxk=210;
long long n,k,c[maxn],f[maxn],g[maxn],zz[maxn];
 
long long aa,fl;char cc;
long long read(){
    aa=0;cc=getchar();fl=1;
    while((cc<‘0‘||cc>‘9‘)&&cc!=‘-‘) cc=getchar();
    if(cc==‘-‘) fl=-1,cc=getchar();
    while(cc>=‘0‘&&cc<=‘9‘) aa=aa*10+cc-‘0‘,cc=getchar();
    return aa*fl;
}
 
bool ok(int x,int y,int z) {
    return (-c[x-1]*c[x-1]+c[y-1]*c[y-1]+g[x-1]-g[y-1])*(c[z-1]-c[y-1])>(-c[y-1]*c[y-1]+c[z-1]*c[z-1]+g[y-1]-g[z-1])*(c[y-1]-c[x-1]);
}
 
void dp(long long x){
    int l=1,r=0;
    for(int i=x;i<=n;++i) {
        while(l<r&&ok(zz[r-1],zz[r],i)) r--;
        zz[++r]=i;
//      printf("%d ",r);
        while(l<r&&c[i]*c[zz[l]-1]-c[zz[l]-1]*c[zz[l]-1]+g[zz[l]-1]<c[i]*c[zz[l+1]-1]-c[zz[l+1]-1]*c[zz[l+1]-1]+g[zz[l+1]-1])
            l++;
//      printf("%d ",l);
        f[i]=c[i]*c[zz[l]-1]-c[zz[l]-1]*c[zz[l]-1]+g[zz[l]-1];
    }
    memcpy(g,f,sizeof(f));
}
 
int main() {
    n=read();k=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        c[i]=read();
        if(c[i])c[i]+=c[i-1]; else i--,n--;
    }
    for(int i=1;i<=k;++i) dp(i);
    printf("%lld",g[n]);
    return 0;
}