P1040 加分二叉树

Posted 2020-10-04

转自：（http://www.cnblogs.com/geek-007/p/7197439.html）

经典例题：加分二叉树（Luogu 1040）

　　设一个 n 个节点的二叉树 tree 的中序遍历为（ 1,2,3,…,n），其中数字 1,2,3,…,n 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i 个节点的分数为 di， tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 subtree（也包含 tree 本身）的加分计算方法如下：
　　subtree 的左子树的加分 × subtree 的右子树的加分＋ subtree 的根的分数。
　　若某个子树为空，规定其加分为 1，叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。
　　试求一棵符合中序遍历为（ 1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树 tree。要求输出；
1.tree 的最高加分：
2.tree 的前序遍历：
- 5 7 1 2 10
- 答案 1： 145
- 答案 2： 3 1 2 4 5
设 F[i][j] 为只用第 i 个数到第 j 个数构成的加分树的最大权值。下图为样例解释：

牢记一个二叉树的性质：中序遍历时候，左右子树一定在根节点左右两边

* 枚举根节点，这样就化成了左子树和右子树的问题，求最优解即可。
* F[i][j] = MAX ( F[i][k-1] * F[k+1][j] + A[k] )（左×右+根k自己本身权值）

//T25:加分二叉树
for(int i=1;i<=n;++i) f[i][i]=a[i];//赋初值（只有一个叶子节点，根就是自己） 
for(int i=0;i<=n;++i) f[i+1][i]=1;
for(int k=1;k<n;++k)
    for(int i=1;i+k<=n;++i)
    {
        int j=i+k;
        for(int l=i;l<=j;++l) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][l-1]*f[l+1][j]+a[l]);//枚举根节点 
    }
int ans=f[1][n];

* 问题： 如何求出树的前序遍历(树的形态)？

我们另外记录一个辅助数组 G[i][j]，代表 F[i][j] 取最大值的时候，根节点是什么，这样就可以通过递归来求出树的前序遍历。

for(int i=1;i<=n;++i) f[i][i]=a[i],g[i][i]=i;//边界值（只有一个叶子节点，根就是自己） 
for(int i=0;i<=n;++i) f[i+1][i]=1;//预处理空节点，保证不出错，一个根节点没有左子树，把左子树标记为1 
for(int k=1;k<n;++k)//k：区间长度 
for(int i=1;i+k<=n;++i)
{
    int j=i+k;//j：末尾节点 
    for(int l=i;l<=j;++l)
    {
        long long t=f[i][l-1]*f[l+1][j]+a[l];
        if(t>f[i][j])//记录最优的根
        {
            f[i][j]=t;
            g[i][j]=l;
        } 
    }
}

//T25:加分二叉树
//递归输出x到y这个树的前缀遍历
void dfs(int x,int y)
{
    if(x>y) return;
    int l=g[x][y];//l为根
    cout<<l<<" ";//先输出l
    /*=====================*///再输出子树的值
    dfs(x,l-1);//左 
    dfs(l+1,y);//右 
    /*=====================*/
}
...
//输出答案——整棵树
dfs(1,n);