线性筛法

Posted 2020-10-03 WeiAR

关于线性筛法

线性是指O（n）内筛掉所有合数，还有一种方法叫埃氏筛法，我先证明埃氏筛法效率低，也就是会有重复。

证明如下：

埃氏筛法的原理是找到一个素数后，它的1~n倍就会被筛掉，任何一个合数都可以被拆成一个质数*合数的形式，我们对每一个质数对应的可能的（合）数都枚举了，这就保证了所有可能的合数都被筛掉了。为什么不是最优呢？问题出在那个质数上，对于一个合数m，m=h*P,P是质数且P>m的最小质因数，那么m也可以表示为m=H*p,（H是个比h大的合数，p是m的最小质因数），这样我们在枚举p的倍数时，m就被筛掉了，而在枚举P的倍数时，m又被筛掉了一次，造成效率浪费。

怎办呢?--------线性筛法

我们在枚举倍数时，保证当前质数不能整除这个倍数就好了，也就是p是m的p，这样我们在最优性的条件下，对每一个质数，它所有对应的倍数，都被枚举到，也就保证了可行性。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt;
int prime[100000];
bool vis[100000];

void Euler()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            break;
        }
    }
}

int main()
{
  cin>>n;
  Euler();
  for(int i=1;i<=cnt;i++)
  cout<<prime[i]<<‘ ‘;
  return 0;
}

里面关键就是那个break,如果不break，就是再往大里枚举，那么以后枚举到的质数，一定不是最小质数，因为它都比当前质数大了，怎么可能最小，最小也只可能是当前的质数，从而实现了优化。