简单质数筛法-试除法,Eratosthenes筛法,线性筛法

Posted 2021-05-15 你可以当我没名字

简单质数筛法

试除法

int is_prime(int n){
	if(n<2)return 0;
	for(int i=2;i<=sqrt(n)j;i++){
		if(n%i==0)return 0;
	}
	return 1;
}

Eratosthenes筛法

我们知道,从2开始,2x,3x,4x…nx都是合数,所以我们可以进行标记,被标记的数字是合数,

但是实际上,我们从2开始遍历的话,2x3=6,6被标记,3x2=6,6被标记,重复了,所以我们可以从n^2开始,这里是优化的解法

效率接近线性筛法

void is_prime(int n){
	ini(cb);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(cb[i])continue;
		cout<<i<<"是质数\\n";
		for(int j=i;j<=n/i;j++){
            //每次循环,i都+1,j=i,则i*j每次都不同,且i*j绝对不超过n,这样就把1-n之间所有的质数都标记出来了 
			cb[i*j] = 1;
		}
	}
}

线性筛法

Eratosthenes筛法还是会重复标记,例如:2x6=12,3x4=12

我们可以使用如下方法来筛选质数

i	2	3	4	5	6	7	8	9	10
prime<=v[i]	2	2,3	2	2,3,5	2	2,3,5,7	2	2,3	2
i*prime	4	6,9	8	10,15,25	12	14,21,35,49	16	18,27	20

注意上面的i=2和i=4是prime是一样的,其实这里,像3x2=6,6那里的prime最高是2,3x3=9,9那里最高的prime是3

prime被存储在prime数组里面

//v用于存储i的质因数,v[i]确实比较难懂,看表格吧,prime用于存储所有质数 
ll v[maxn],prime[maxn]; 
void is_prime(int n){
	ini(v);
	int cnt = 0;//代表质数的数量
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(v[i]==0){//没有赋值过,代表i是质数 
			v[i] = i;//本身就是最大质因数 
			prime[++cnt] = i;//将数据存储到prime数组里面,下标从1开始,所以下面j才从1开始 
		}
		for(int j=1;j<=cnt;j++){
			//prime[j]不能超过v[i](但是可以相等,v[i]),如果不理解看看表格 
			//prime[j]也不能>n/i,我们只要求在1-n范围内求值 
			if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i)break;
			//用来存储i*prime[j]的质因数的,不懂看上面的if,这里i可能不是质数,还是看表格比较容易理解 
			v[i*prime[j]] = prime[j];
			
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		cout<<prime[i]<<"\\n";
	}
}