埃式筛法

Posted 2020-06-09

2016.1.25

 

我们都知道，判断一个数是否为素数可以在O(√n)的时间复杂度内解决。但是如果是要求[1,n]内素数的个数，显然一个一个判断有些慢了。

但我们知道一个显而易见的性质：一个合数的所有质因数都小于这个合数，一个质数没有比它小的质因数。

那么我们可以利用已求得的质因数，来对比他大的合数进行筛除。

具体操作如下：首先我们将2至n内的所有数字写下来。此时2为表中最小数，即为素数，然后将2的倍数全部划去。此时表中剩余最小数字是3，即3是素数，再将表中所有3的倍数划去。将该操作进行下去，每次表中剩余的最小的数即为素数，并将它的倍数都划去。

 

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
筛除2的倍数	2	3	-	5	-	7	-	9	-	11	-	13	-	15	-	17	-	19	-
筛除3的倍数	2	3	-	5	-	7	-	-	-	11	-	13	-	-	-	17	-	19	-

代码如下：

int n,prime[1000005],e;
bool is_prime[1000005];//is_prime为0表示为素数 
void solve()//素数筛 
{
    prime[0]=prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!is_prime[i])
        {
            prime[++e]=i;
            if((long long)i*i>n) continue;//防止爆int 
            for(int j=i*i;j<=n;j+=i) is_prime[j]=1;
        }
    }
}

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这个筛法的时间复杂度并不显然，看起来像是O（n），在noip一般的数据规模下实测也确实接近线性，但他的时间复杂度其实是O（n loglogn），看起来也就是个常数稍大的线性而已?_?

关于这个奇奇怪怪的时间复杂度的证明，其实蒟蒻的博主并没有看懂但贴在这里，有更好证法的可以告诉我?_?

（转）