解题报告 之 2015蓝桥杯 垒骰子

Posted 2020-10-03 llguanli

解题报告 之 2015蓝桥杯 垒骰子

赌圣 atm 晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在还有一个上边。不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。

经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4。2 的对面是 5，3 的对面是 6。

如果有 m 组相互排斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。

atm 想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。

两种垒骰子方式同样，当且仅当这两种方式中相应高度的骰子的相应数字的朝向都同样。
因为方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

不要小看了 atm 的骰子数量哦～

「输入格式」
第一行两个整数 n m
n 表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b。表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。

「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

「例子输入」
2 1
1 2

「例子输出」
544

「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

题目大意：略

分析：想当年真是小白啊，，如此简单的题竟然一个字没写。。

太悲慘了。。

依据相关文章一的启示。想把这道题拿出来炒炒陈饭。矩阵高速幂，用一连接矩阵表示各面朝上时能够连接的情况，然后有多少个骰子直接矩阵幂就能够了。

最后注意側面的数字能够转4个情况。则最后再乘一个4^n。注意都要用高速幂来取模。

上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 8;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int n, m;

struct matrix
{
	ll con[MAXN][MAXN];
	matrix()
	{
		for(int i = 0; i < MAXN; i++)
			for(int j = 0; j < MAXN; j++)
				con[i][j] = 0;
	}
};

matrix mul( matrix& a, matrix& b )
{
	matrix ans;
	for(int i = 1; i <= 6; i++)
		for(int j = 1; j <= 6; j++)
			if(a.con[i][j])
				for(int k = 1; k <= 6; k++)
					ans.con[i][k] += a.con[i][j] * b.con[j][k];
	return ans;
}

matrix m_pow( matrix a, int b )
{
	matrix ans;
	for(int i = 1; i <= 6; i++)
		ans.con[i][i] = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
			ans = mul( ans, a );
		a = mul( a, a );
		b /= 2;
	}
	return ans;
}

ll q_pow( ll a, ll b, ll c )
{
	ll ans = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1)
		{
			ans = (ans * a) % c;
		}
		b /= 2;
		a = (a*a) % c;
	}
	return ans;
}

int main()
{
//没有找到judge，感觉应该没问题。请各位不吝赐教，多谢！
	matrix ini;
	for(int i = 1; i <= 6; i++)
		ini.con[1][i] = 1;
	matrix con;
	for(int i = 1; i <= 6; i++)
		for(int j = 1; j <= 6; j++)
			con.con[i][j] = 1;

	while(scanf( "%d%d", &n, &m ) == 2)
	{
		int a, b;
		for(int i = 1; i <= m; i++)
		{
			scanf( "%d%d", &a, &b );
			con.con[a][b] = con.con[b][a] = 0;
		}

		ini = mul( ini, m_pow( con, n - 1 ) );
		long long ans = 0;
		for(int i = 1; i <= 6; i++)
		{
			ans += ini.con[1][i];
		}
		ll times = q_pow( 4, n, MOD );
		ans = (ans*times) % MOD;
		printf( "%lld\n", ans );
	}

	return 0;
}