LQ0168 垒骰子矩阵快速幂

Posted 2022-12-05 海岛Blog

题目出处：蓝桥杯2015初赛 C++ A组I题

题目描述
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

输入格式
输入存在多组测试数据，对于每组数据：
第一行两个整数 n m(0<n<10^9,m<=36)
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。

输出格式
对于每组测试数据，输出一行，只包含一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

输入样例
2 1
1 2
输出样例
544

问题分析
用矩阵快速幂来解，模板题。

AC的C++语言程序如下：

/* LQ0168 垒骰子 */

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int MOD = 1000000007;
const int N = 6;
int a[]=0,4,5,6,1,2,3;

struct mat

    LL a[N + 1][N + 1];
    mat()  memset(a, 0, sizeof a); 
;

mat mul(mat x, mat y)

    mat ans;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    for (int j = 1; j <= N; j++)
    for (int k = 1; k <= N; k++)
        ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) % MOD;
    return ans;


mat qpow(mat x, LL y)

    mat ans;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        ans.a[i][i] = 1;
    while (y) 
        if (y & 1) ans = mul(ans, x);
        x = mul(x, x);
        y >>= 1;
    
    return ans;


LL power(LL x, LL y)

    LL ans = 1;
    while (y) 
        if (y & 1) ans *= x, ans %= MOD;
        x *= x, x %= MOD;
        y >>= 1;
    
    return ans;


int main()

    LL n, m;
    while (cin >> n >> m) 
        mat t;
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            for (int j = 1; j <= N; j++)
                t.a[i][j] = 1;
        while (m--) 
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            t.a[x][a[y]] = 0;
            t.a[y][a[x]] = 0;
        
        mat ans = qpow(t, n - 1);
        LL cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            for (int j = 1; j <= N; j++)
                cnt = (cnt + ans.a[i][j]) % MOD;

        cout << cnt * power(4, n) % MOD << endl;
    

    return 0;