zoj 1562 反素数 附上个人对反素数性质的证明

Posted 2020-10-01 yangykaifa

反素数的定义：对于不论什么正整数，其约数个数记为。比如，假设某个正整数满足：对随意的正整

            数。都有，那么称为反素数。

从反素数的定义中能够看出两个性质：

（1）一个反素数的全部质因子必定是从2開始的连续若干个质数。由于反素数是保证约数个数为的这个数尽量小

（2）相同的道理，假设，那么必有

个人理解性证明：
对（1）如果不是从2開始，那么如果n的最小素因素是k，把k换成2，2的次数仍等于k的次数，得到N，可知,N<n，而且f(n)==f(N)。与n是反素数矛盾

对(2)如果ti<tj   ti,tj各自是是质因数i,j的次数，i<j。那么将i的次数换成tj,j的次数换成ti 能够得到N 。满足N<n且f(n)==f(N)，与n是反素数矛盾

综上，两条性质得证

可能会疑惑，反素数的性质有个毛用！？

答案是：剪枝

先来一份TLE代码(2000ms+)

const int SIZE = 16;
const int MAXN = 65;
int p[SIZE] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};

ll n,ans,ansnum;
void dfs(int dep, ll tmp , ll mx)
{
    if(tmp<=n)
    {
        if(mx>ansnum)
        {
            ans=tmp;
            ansnum=mx;
        }
        if(mx==ansnum)ans=min(tmp,ans);///
    }
    if(tmp>=n || dep>SIZE-1)return;
    ll tt=1;
    for(int i=0;i<SIZE;i++)
    {
        if(n/tt<tmp)break;
        dfs(dep+1,tmp*tt,mx*(i+1));
        tt*=p[dep];
    }
}

int main()
{
    //IN("zoj1562.txt");
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        ans=ansnum=0;
        dfs(0,1,1);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

TLE的原因是dfs太多，剪枝方法非常easy。

1、DFS的时候，是从小的素数開始，由性质1，必须是次数从1開始而不是0開始。这样就剪下了一块

2、DFS的时候，深度为dep的那一层，循环处理的是prm[dep]的i次方，那么由性质2。其上限不能超过上一层的次数，又零零碎碎剪下了不少

另外注意两点：

1、由于害怕超过long long 所以用除法

if(n/tt<tmp)break;

2、注意求反素数这行代码：（是为了满足定义）

<pre code_snippet_id="457113" snippet_file_name="blog_20140824_2_8087056" name="code" class="cpp">if(mx==ansnum)ans=min(tmp,ans);

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;

#define ls(rt) rt*2
#define rs(rt) rt*2+1
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define repe(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define IN(s) freopen(s,"r",stdin)
#define OUT(s) freopen(s,"w",stdout)
const ll ll_INF = ((ull)(-1))>>1;
const double EPS = 1e-8;
const int INF = 100000000;
const int SIZE = 16;
const int MAXN = 65;
int p[SIZE] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};

ll n,ans,ansnum;
void dfs(int dep, ll tmp , ll mx,int num)
{
    if(tmp<=n)
    {
        if(mx>ansnum)
        {
            ans=tmp;
            ansnum=mx;
        }
        if(mx==ansnum)ans=min(tmp,ans);///
    }
    if(tmp>=n || dep>SIZE-1)return;
    ll tt=1;
    for(int i=1;i<num;i++)
    {
        tt*=p[dep];
        if(n/tt<tmp)break;
        dfs(dep+1,tmp*tt,mx*(i+1),i+1);
    }
}

int main()
{
    //IN("zoj1562.txt");
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        ans=ansnum=0;
        dfs(0,1,1,MAXN);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}