51nod 1061 最复杂的数V2

Posted 2020-11-06 胡小兔的OI博客

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51nod 1061

题面简述

求\([1, n]\)中约数个数最多的数。
\(n \le 10^{200}\)

题解

首先，答案一定是一个反素数。

什么是反素数？

一个正整数\(x\)是反素数的充要条件是：\([1, x - 1]\)中的整数的约数个数都小于\(x\)的约数个数。

反素数有什么性质？

1. 把一个反素数分解成\(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}\)的形式，则\(a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n\)。

2. 除\(1\)以外，一个反素数\(x\)一定可以由一个小于\(x\)的反素数乘上一个质数得来。（证明大概比较显然？感性理解一下 = =）

如果我们能求出\(10^{200}\)以内所有反质数，询问时直接lower_bound即可。

由此设计出算法：

• 维护一个堆，一开始只放\(1\)进去；

• 每次取堆中最小的数（堆顶元素）；

• 判断这是不是一个反素数：根据定义，如果比它小的反素数中有约数个数与它相等或更多的，则它不是反素数。维护当前已经出堆的反素数的约数个数的最大值，如果当前堆顶元素的约数个数不比它大，则它不是反素数。

• 枚举各个合法的素数（要求满足性质1）和它相乘，如果没有超出\(10^{200}\)则也压到堆中。

这样就能求出\(10^{200}\)以内所有反质数了（实际上只有3810个！）

这道题需要高精度，好在只需要高精度乘低精度即可。

AC代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
    if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
    x = x * 10 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

const int N = 1000005, maxp = 100;
int T, prime[N], pcnt, tot;
bool np[N];
char s[256];
struct big {
    ll n[256], l;
    big(){
    memset(n, 0, sizeof(n));
    n[1] = l = 1;
    }
    void out(){
    for(int i = l; i; i--)
        write(n[i]);
    }
    bool operator < (const big &b) const {
    if(l != b.l) return l < b.l;
    for(int i = l; i; i--)
        if(n[i] != b.n[i]) return n[i] < b.n[i];
    return 0;
    }
    bool operator > (const big &b) const {
    if(l != b.l) return l > b.l;
    for(int i = l; i; i--)
        if(n[i] != b.n[i]) return n[i] > b.n[i];
    return 0;
    }
    big operator * (ll x) const {
    big c;
    c.l = l;
    for(int i = 1; i <= l; i++)
        c.n[i] = n[i] * x;
    while(x) c.l++, x /= 10;
    for(int i = 1; i <= c.l; i++)
        c.n[i + 1] += c.n[i] / 10, c.n[i] %= 10;
    while(!c.n[c.l]) c.l--;
    return c;
    }
} MAX, cur;
struct data{
    big num;
    int cnt[maxp];
    data(){
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    }
    data(big x){
    num = x;
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    }
    bool operator < (const data &b) const{
    return num > b.num;
    }
    data operator * (int p) const{
    data c;
    c.num = num * prime[p];
    memcpy(c.cnt, cnt, sizeof(cnt));
    c.cnt[p]++;
    return c;
    }
} lst[4005];
priority_queue <data> que;

void euler(int n){
    np[0] = np[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
    if(!np[i]) prime[++pcnt] = i;
    for(int j = 1; j <= pcnt && i * prime[j] <= n; j++){
        np[i * prime[j]] = 1;
        if(i % prime[j] == 0) break;
    }
    }
}

int main(){
    
    euler(1000000);
    MAX.l = 201;
    MAX.n[201] = MAX.n[1] = 1;
    cur.n[1] = 0;
    que.push(data());
    while(!que.empty()){
    data u = que.top();
    que.pop();
    big d;
    for(int p = 1; u.cnt[p]; p++)
        d = d * (u.cnt[p] + 1);
    if(!(cur < d)) continue;
    lst[++tot] = u;
    cur = d;
    for(int p = 1; p < maxp && (p == 1 || u.cnt[p - 1]); p++)
        if((p == 1 || u.cnt[p] < u.cnt[p - 1])){
        data v = u * p;
        if(v.num < MAX) que.push(v);
        }
    }
    reverse(lst + 1, lst + tot + 1);
    read(T);
    while(T--){
    scanf("%s", s + 1);
    big n;
    n.l = strlen(s + 1);
    for(int i = 1; i <= n.l; i++)
        n.n[n.l - i + 1] = s[i] - '0';
    data v = data(n);
    data u = *lower_bound(lst + 1, lst + tot + 1, v);
    big d;
    for(int p = 1; u.cnt[p]; p++)
        d = d * (u.cnt[p] + 1);
    u.num.out(), space, d.out(), enter;
    }

    return 0;
}