扩展欧几里得算法裴蜀定理与乘法逆元

Posted 2020-10-01

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法（扩O）能在求gcd（a，b）的同时求出丢番图方程ax+by=gcd(a, b)的解。

然而怎么求呢？我们观察gcd(a, b)=gcd(b, a%b)，所以设如下两个方程：

ax+by = gcd(a,b) = d；

bx’+(a%b)y’ = gcd(b,a%b)；

明显gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，也就是ax+by = bx’+(a%b)y’。

为了求得x与y，我们需要保证a，b不变，所以：ax+by = bx’+(a%b)y’ = bx’+(a-[a/b]*b)y’ 

=ay’ + b(x’ – [a/b]y’)　　（[a/b]表示a/b的值向下取整。）

所以可得恒等关系： x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’)。这样就求出了一组特解。

那么如何求全解呢？直接给出递推式：

x = x0 + (b/gcd)*t

y = y0 – (a/gcd)*t

明显，b/gcd与a/gcd是互素的，也就是说它们的gcd为1。如果它们再除以一个值，某些解可能就不是整数了。

裴蜀定理

扩O有什么卵用吗？其实它可以求线性丢番图方程（不定方程）。

对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：

ax + by = m

有解当且仅当m是d的倍数。因为ax+by=gcd（a，b）。如果m不是d的整数倍的话，m就不是整数了。而因为是丢番图方程，所以a，b，x，y都为整数。m不为整数时方程无解。

裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用扩O求得。只要将x与y同时乘上m/gcd（a，b）就行了。

特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。（因为gcd（a，b）=1）

乘法逆元

给定一个形如ax≡1 （mod m）的关于x的方程，x即为a关于m的乘法逆元。

怎么求呢？我们把它等价一下：ax mode m = 1 mod m = 1，ax=m(-y)+1，ax+my=1。

也就是说，只要求出ax+my=1这个方程的解就行了。是不是有点熟悉？对，用扩O+裴蜀求出x，y。

（注意要满足gcd（a，m）=1）

但是明显，一道题目出给你不可能让你输出无数解，通解也不现实，一般是让你求出x最小的正整数解。那怎么办呢？

x的通解是x0+m/gcd*t，在乘法逆元情况下gcd=1，所以不用考虑。所以x的通解是x0+mt。

因为通解是x0+mt，明显最小正整数解的区间是[ 0，m），所以似乎只要让x0%m就可以找到最小解了。

可是万一x0%m是负数呢？答案是取绝对值就好了。（我也不知道为什么）

下面贴代码：（待更）