最大权二分匹配

Posted 2020-09-30 yfceshi

图论里有一个非常经典的算法，那就是二分匹配，只是仅仅是简单的匹配有时并不能解决我们的问题，比方匹配带权的情况。引申的一个非常重要的问题就是分配问题，比方给n个人分派m个任务，每一个人都有不同的成本，怎样分配能使得成本最小就是这种问题，这种问题我们统称为二分图的最大权匹配问题.

解决这类问题的最好的方法应该就是KM 算法。详细细节能够自己百度！

以下是我的代码，我主要还是用了类来写，认为这样比較好理解！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
#define INF 99999999
class graph{
  struct vertex
  {
	 bool vist;              //是否被訪问过
     int link;              //顶标
     int ver;               //匹配边
	 vector<int>edge;      //相关边
	 vertex(bool f=0,int v=0,int l=-INF):vist(f),ver(v),link(l){}
  };
  int n,m;
  vector<vertex>V;
  vector<vertex>U;
  vector<int>slack;
  public:
	  graph(int x,int y):n(x),m(y)
	  {
		  vertex tmp;
		  int i=0;
		  for(;i<=n;i++)
		  V.push_back(tmp),
		  V[i].edge.push_back(0);
		  for(i=0;i<=m;i++)
			  U.push_back(tmp),
			  slack.push_back(INF);
	  }
	  void merge(int i,int w)
	  {
		  V[i].edge.push_back(w);
		  V[i].link=V[i].link>w?V[i].link:w;
	  }
      bool DFS(int x)
	  {
		  V[x].vist=1;
		  for(int y=1;y<=m;y++)
		  {
             if(U[y].vist)
				 continue;
			 int tmp=V[x].link+U[y].link-V[x].edge[y];
			 if(tmp==0)
			 {
				 U[y].vist=1;
				 if(U[y].ver==0||DFS(U[y].ver))
				 {
					 U[y].ver=x;
					 V[x].ver=y;
					 return 1;
				 }
			 }
			 else if(slack[y]>tmp)
				 slack[y]=tmp;
		  }
		  return 0;
	  }
    int KM()
	{
		for(int x=1;x<=n;x++)
		{
		   for(int i=1;i<=m;i++)
		    slack[i]=INF;
         while(1)
		 {
		   for(int i=1;i<=n;i++)
		    V[i].vist=0;
		    for(int i=1;i<=m;i++)
		    U[i].vist=0;
		   if(DFS(x))
               break;
             int d=INF ;
            for(int i=1;i<=m;i++)
				if(!U[i].vist&&d>slack[i])
					d=slack[i];
			for(int j=1;j<=n;j++)
				if(V[j].vist)
					V[j].link-=d;
			for(int k=1;k<=m;k++)
				if(U[k].vist)
					U[k].link+=d;
				else
					slack[k]-=d;
		 }
       }
    	int MAX=0;
    	for(int i=1;i<=m;i++)
	    {
	       if(V[i].ver>0)
            MAX+=V[U[i].ver].edge[i];

        }
		return MAX;
	}

  };

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
	int n,m;
	while(cin>>n>>m)
	{
	  graph G(n,n);
	  int w;
	  for(int i=1;i<=n;i++)
		  for(int j=1;j<=n;j++)
			 scanf("%d",&w),
			 G.merge(i,-w);
	  int max=-G.KM();
          cout<<max<<endl;
	

	}
	  //  fclose(stdin);
	//    fclose(stdout);
	return 0;
}

这个算法的效率是O(n^3)的，这应该是眼下最好的算法了吧。