uoj#80 二分图最大权匹配

Posted 2021-02-07 huyufeifei

题意：给定二分图，有边权，求最大边权匹配。边权非负。

解：KM算法求解最大权完备匹配。

完备匹配就是点数少的那一边每个点都有匹配。

为了让完备匹配与最大权匹配等价，我们添加若干条0边使之成为完全二分图(自造名词别在意......)

为了让左边成为点数较少的一边，我们还要添加一些虚点，m = max(n,m)

然后求解完备匹配。

KM的DFS写法会被卡成n⁴，如果你不在意可以写......反正在uoj上会被卡爆。

模板就不放了，反正没啥用，放了还我 误 我 自 己。

过程就是一次为每个点寻找匹配。首先每个点都有个顶标(期望匹配值)，最后要使得每一条匹配边(x, y)满足w[x] + w[y] = val(x, y)

然后每个右边的点还有个need数组，一般是叫做slack，就是松弛量，也就是当前这个点最少要把w减去多少才能匹配上。

还有个D是min slack，也就是全局最少减少D才能得到匹配。

匹配的时候跟匈牙利一样DFS，注意到一个点之后如果w[x] + w[y] = val(x, y)则这条边可用，打上vis，否则用差值更新need y

如果没有匹配就update一遍，每个有vis的左边减去D，右边加上D。然后继续直到有匹配为止。

BFS写法

这个我不太懂...话说DFS本来就不懂了，还纠结这个干啥。

右边节点有个pre数组表示它是谁更新来的，也就是如果它进入增广路，那么它前面的右边节点是pre

在BFS函数里首先设置BFS起点是右边0匹配左边x，然后尝试为x找到增广路。

枚举每个未被vis的y，得到w[x] + w[y]与val(x, y)的差值。

用这个差值更新need[y]，如果差值比need[y]小，就表明y的前一个节点是mat[x]的话会更佳，令pre[y] = u(u表示正在匹配x的节点，也就是上一个x准备匹配的节点)

用need[y]更新D，如果need[y] < D则表明全局上下一个点选择y更优，令nex = y(此处nex是下一轮的u)

然后更新一遍，让所有vis的右边节点(当然也包括一开始我们虚拟跟x匹配的右边0号点)w += D，而与之匹配的左边节点w -= D

结束条件是找到的这个u没有匹配。此时增广路就找到了。

然后把交错路取反，也就是每个u的匹配变成上一个u的匹配，直到倒数第二个u匹配x。

啊我到底在口胡些什么

 1 //thanks to yyb
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstring>
 5 
 6 typedef long long LL;
 7 const int N = 410;
 8 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 9 
10 int vis[N * 2], mat[N * 2], Time, pre[N * 2], n, m;
11 LL val[N][N], w[N * 2], need[N * 2];
12 
13 void BFS(int x) {
14     memset(need, 0x3f, sizeof(need));
15     memset(pre, 0, sizeof(pre));
16     int u = 0, nex;
17     mat[u] = x;
18     do {
19         x = mat[u];
20         LL D = INF;
21         vis[u] = Time;
22         for(int y = n + 1; y <= n + m; y++) {
23             if(vis[y] == Time) {
24                 continue;
25             }
26             LL t = w[x] + w[y] - val[x][y - n];
27             if(t < need[y]) { // update need pre
28                 need[y] = t;
29                 pre[y] = u;
30             }
31             if(need[y] < D) { // update D nex
32                 D = need[y];
33                 nex = y;
34             }
35         }
36         // update
37         w[mat[0]] -= D; // do not forget! 
38         w[0] += D;
39         for(int i = n + 1; i <= n + m; i++) {
40             if(vis[i] == Time) {
41                 w[mat[i]] -= D;
42                 w[i] += D;
43             }
44             else {
45                 need[i] -= D;
46             }
47         }
48         u = nex;
49     } while(mat[u]);
50 
51     while(u) { // update path 
52         mat[u] = mat[pre[u]];
53         u = pre[u];
54     }
55 
56     return;
57 }
58 
59 int main() {
60     int q;
61     scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
62     m = std::max(n, m);
63     for(int i = 1; i <= q; i++) {
64         int x, y;
65         LL z;
66         scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);
67         val[x][y] = std::max(val[x][y], z);
68         w[x] = std::max(w[x], val[x][y]);
69     }
70     for(int i = 1; i <= n; i++) {
71         ++Time; // ++Time
72         BFS(i);
73     }
74     LL ans = 0;
75     for(int i = n + 1; i <= n + m; i++) {
76         if(val[mat[i]][i - n]) { // do not forget " - n"!
77             mat[mat[i]] = i;
78             ans += val[mat[i]][i - n];
79         }
80     }
81     printf("%lld
", ans);
82     for(int i = 1; i <= n; i++) {
83         printf("%d ", mat[i] ? mat[i] - n : mat[i]);
84     }
85     return 0;
86 }

AC代码

最后感谢YYB神犇，我是照抄他的代码的%%%%%%。