[BZOJ4553][HEOI2016]序列 CDQ分治

Posted 2020-09-29 LadyLex

4553: [Tjoi2016&Heoi2016]序列

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Description

 佳媛姐姐过生日的时候，她的小伙伴从某宝上买了一个有趣的玩具送给他。玩具上有一个数列，数列中某些项的值

可能会变化，但同一个时刻最多只有一个值发生变化。现在佳媛姐姐已经研究出了所有变化的可能性，她想请教你

，能否选出一个子序列，使得在任意一种变化中，这个子序列都是不降的？请你告诉她这个子序列的最长长度即可

。注意：每种变化最多只有一个值发生变化。在样例输入1中，所有的变化是：

1 2 3

2 2 3

1 3 3

1 1 31 2 4

选择子序列为原序列，即在任意一种变化中均为不降子序列在样例输入2中，所有的变化是:3 3 33 2 3选择子序列

为第一个元素和第三个元素，或者第二个元素和第三个元素，均可满足要求

Input

 输入的第一行有两个正整数n, m，分别表示序列的长度和变化的个数。接下来一行有n个数，表示这个数列原始的

状态。接下来m行，每行有2个数x, y，表示数列的第x项可以变化成y这个值。1 <= x <= n。所有数字均为正整数

，且小于等于100,000

Output

 输出一个整数，表示对应的答案

Sample Input

3 4
1 2 3
1 2
2 3
2 1
3 4

Sample Output

3

 

题解：

我们来分析一下这道题让我们干什么：

我们知道了一个序列，其中每一个元素都可能变化，

我们设他的原始值为a[i],最大值为maxv[i],最小值为minv[i]，

再设f[i]为以i为结尾的最长符合要求子序列，显然这可以用一个dp来解决：对于f[i],有

　　f[i]=max{f[j]}+1

而对j的要求，由于同时只有一个元素发生变化，我们就要求满足

　　j<i&&maxv[j]<=a[i]&&a[j]<=minv[i]

我们发现，这好像长得“很像”一个三维偏序问题。

如果我们用树套树来解决的话，也不是不可以（详见勇士的战斗记录：BZOJ4553: [Tjoi2016&Heoi2016]序列 树套树优化DP）

但是为什么我们不用更简单的做法来解决呢？

显然，这个东西是可以用cdq分治来解决的

我们对于区间[l,r]，如果这个元素i在mi前面，我们就用(maxv[i],a[i])作为他的权值；否则，就用(a[i],minv[i])来作为他的权值。

这样，就可以实现上面的想法了：用前面来更新后面。这也是本题的关键。

想到了这一点，代码实现就很简单了。代码见下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int N=300000;
 7 int n,m,bit[N+100],f[N+100];
 8 struct num{int val,maxv,minv;}x[N+100];
 9 struct cdq{int x,y,id;}a[N+100];
10 inline int lowbit(int a){return a&(-a);}
11 inline bool mt(const cdq &a,const cdq &b)
12 {return (a.x==b.x)?a.id<b.id:a.x<b.x;}
13 inline void add(int i,int val)
14 {
15     while(i<=N)
16     {
17         bit[i]=(val==0)?0:max(bit[i],val);
18         i+=lowbit(i);
19     }
20 }
21 inline int sum(int i)
22 {
23     int ret=0;
24     while(i)
25         ret=max(ret,bit[i]),i-=lowbit(i);
26     return ret;
27 }
28 void cdq(int l,int r)
29 {
30     if(l==r){f[l]=max(f[l],1);return;}
31     int mi=(l+r)>>1;
32     cdq(l,mi);
33     for(int i=l;i<=r;i++)
34     {
35         if(i<=mi)a[i].x=x[i].val,a[i].y=x[i].maxv;
36         else a[i].x=x[i].minv,a[i].y=x[i].val;
37         a[i].id=i;
38     }
39     sort(a+l,a+r+1,mt);
40     for(int i=l;i<=r;i++)
41     {
42         if(a[i].id<=mi)add(a[i].y,f[a[i].id]);
43         else f[a[i].id]=max(sum(a[i].y)+1,f[a[i].id]);
44     }
45     for(int i=l;i<=r;i++)add(a[i].y,0);
46     cdq(mi+1,r);
47 }
48 int main()
49 {
50     scanf("%d%d",&n,&m);int u,v,ans=0;
51     for(int i=1;i<=n;i++)
52         scanf("%d",&x[i].val),x[i].minv=x[i].maxv=x[i].val;
53     while(m--)
54     {
55         scanf("%d%d",&u,&v);
56         x[u].maxv=max(x[u].maxv,v);
57         x[u].minv=min(x[u].minv,v);
58     }
59     cdq(1,n);
60     for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
61     printf("%d\\n",ans);
62 }