数论--乘法逆元

Posted 2020-09-28 kimsimple

乘法逆元

定义：
满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。

我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

证：（其实很简单。。。）

根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。
k=(p*x+1)/b。
把k代入(a*k) mod p，得：
(a*(p*x+1)/b) mod p
=((a*p*x)/b+a/b) mod p
=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
//p*[(a*x)/b] mod p=0
所以原式等于：(a/b) mod p

 

如何求乘法逆元？（逆元唯一）

1.扩展欧几里德法

 

 一般情况下，ax+by=1;得 x为a mod  b 的逆元，y为 b mod a的逆元

 

摘自http://www.cnblogs.com/tiankonguse/archive/2012/08/14/2638949.html