数论学习之乘法逆元

Posted 2020-08-19 Soda

用法：用于除法取模

思路:扩欧

要求：b、p互质

设k为b的乘法逆元：

则在求解除法取模问题时：

有(a/b)%p =>(a*k)%p

当b很大时，用除法会出现精度问题。。so

 

乘法逆元：

如果b*k ≡ 1 （mod p）

则称k是b关于p的乘法逆元

 

我们可以通过求 b 关于 p 的乘法逆元 k，将 a 乘上 k 再模 p，即 (a * k) mod p。其结果与(a / b) mod p等价。

证: 
因为 b * k ≡ 1 (mod p) 
则有 b * k = p* x+1 
得到 k = (p * x + 1) / b 
将 k 代入(a * k) mod p 
得到： 
(a * (p * x + 1) / b) mod p 
=((a * p * x) / b + a / b) mod p 
=[((a * p * x) / b) mod p +(a / b)] mod p 
=[(p * (a * x) / b) mod p +(a / b)] mod p 
=(0 + (a / b)) mod p 
= (a/b) mod p

 

用欧几里得扩展求逆元要求 gcd(b, p) == 1

求乘法逆元可以用到欧几里得扩展：

void Euild(ll a, ll b, ll &x, ll &y)  // x 是 a 关于 b 的乘法逆元

{

    if(0 == b){

        x = 1, y = 0;

        return ;

    }

    Euild(b, a%b, x, y);

    ll flag = x;

    x = y;

    y = flag - a/b * y;

}