总结——数论：乘法逆元

Posted 2020-10-26 travelller

零 乘法逆元

　　对于缩系中的元素，每个数a均有唯一的与之对应的乘法逆元x，使得 ax≡1(mod n) 。
　　一个数有逆元的充分必要条件是 gcd(a,n)=1 ，此时逆元唯一存在。
　　逆元的含义：模 n 意义下，1个数 a 如果有逆元 x ，那么除以 a 相当于乘以 x 。

 

一 扩展欧几里得求逆元

　　将方程 ax=1(mod m) 转化为 ax+my=1 ，套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组 x0,y0 和 gcd。当 gcd=1 时逆元存在，调整 x0 在 [0,m-1] 的范围内即可。时间复杂度为O(ln n)。

 1 typedef  long long ll;
 2 void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
 3     if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
 4     else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
 5 }
 6 ll inverse(ll a,ll n){
 7     ll d,x,y;
 8     extgcd(a,n,d,x,y);
 9     return d==1?(x+n)%n:-1;
10 }

 

二 费马小定理求逆元