欧拉筛素数+求欧拉函数

Posted 2020-09-28 Nico&11101001

线性筛法

prime记录素数，num_prime素数下标

它们保证每个合数只会被它的最小质因数筛去

 a[0]=a[1]=1;  
    for(int i=2;i<=n;i++)  
    {  
        if(!a[i])  
            prime[num_prime++]=i;  
        for(int j=0;j<num_prime&&i*prime[j]<=n;j++)  
        {  
            a[i*prime[j]]=1; 
            if(!(i%prime[j]))
                break;  
        }  
    }
}

欧拉函数

是

积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

通式：

 

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

注意：每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，

  

，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，

 

特殊性质：当n为奇数时，

  

, 证明与上述类似。

若n为质数则

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 100005
#define MAXL 1299710
int prime[MAXN];
int check[MAXL];
int phi[MAXL];
int tot = 0;
phi[1] = 1;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
  if (!check[i])
  {
    prime[tot++] = i;
    phi[i] = i - 1;
  }
  for (int j = 0; j < tot; ++j)
  {
    if (i * prime[j] > MAXL)
    {
      break;
    }
    check[i*prime[j]] = 1;
    if (i % prime[j] == 0)
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
      break;
    }else
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
    }
  }
}