培训补坑（day4:网络流建模与二分图匹配）

Posted 2020-09-28 ghostfly233

补坑时间到QAQ

好吧今天讲的是网络流建模与二分图匹配。。。

day3的网络流建模好像说的差不多了、（囧）

那就接着补点吧。。

既然昨天讲了建图思想，那今天就讲讲网络流最重要的技巧：拆点。

拆点，顾名思义，就是把一个状态拆成数个点以满足题目要求。

今天主要围绕一个例题来讲：修车。（虽然是丧题，但是却是网络流算法思想实现的典例）

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题目：

同一时刻有位车主带着他们的爱车来到了汽车维修中心。维修中心共有M位技术人员，不同的技术人员对不同的车进行维修所用的时间是不同的。现在需要安排这M位技术人员所维修的车及顺序，使得顾客平均等待的时间最小。 说明：顾客的等待时间是指从他把车送至维修中心到维修完毕所用的时间。注：（2<=m<=9,1<=n<=60）

——————————————————我是分割线——————————————————

其实我一开始看到这题，我都没看出来这是网络流（真是太弱了）

然后我去网络上看了题解。

首先我们知道一个工人修一辆车就会让其余没有修过车的time增加，所以我们发现如果考虑第i个工人修第j辆车的话，会发现时间是不确定的。

但是如果我们倒着过来计算的话，那么我们就能够计算时间了。

所以我们将n个工人每一个分为m个点，表示第i个工人修倒数第j辆车，然后每一条边的费用就是time*j，表示等待的时间，从S到每一个点连边，从每一个点到T连边，然后我们跑最小费用最大流就好了。

对于费用流不懂的同学们可以去我的博客上看看。（暂时没写，以后补坑）

下面附上例题代码

#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
int ans;
int go[200005],tot,S,T,first[200005],next[200005],flow[200005];
int cost[200005],c[200005],edge[200005],from[200005],a[500][500];
int nodes,b[500][500],n,m,op[200005],dis[200005],vis[200005];
int read(){
    int t=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<\'0\'||ch>\'9\'){if (ch==\'-\') f=-1;ch=getchar();}
    while (\'0\'<=ch&&ch<=\'9\'){t=t*10+ch-\'0\';ch=getchar();}
    return t*f;
}
void insert(int x,int y,int z,int l){
    tot++;
    go[tot]=y;
    next[tot]=first[x];
    first[x]=tot;
    flow[tot]=z;
    cost[tot]=l;
}
void add(int x,int y,int z,int l){
    insert(x,y,z,l);op[tot]=tot+1;
    insert(y,x,0,-l);op[tot]=tot-1;
}
bool spfa(){
    for (int i=0;i<=T;i++) dis[i]=0x3f3f3f3f,vis[i]=0;
    dis[S]=0;
    int h=1,t=1;
    c[1]=S;
    while (h<=t){
        int now=c[h++];
        for (int i=first[now];i;i=next[i]){
            int pur=go[i];
            if (flow[i]&&dis[pur]>dis[now]+cost[i]){
                dis[pur]=dis[now]+cost[i];
                from[pur]=now;
                edge[pur]=i;
                if (vis[pur]) continue;
                vis[pur]=1;
                c[++t]=pur;
            }
        }
        vis[now]=0;
    }
    return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
}
void updata(){
    int mn=0x7fffffff;
    for (int i=T;i!=S;i=from[i]){
        mn=std::min(mn,flow[edge[i]]);
    }
    for (int i=T;i!=S;i=from[i]){
        flow[edge[i]]-=mn;
        flow[op[edge[i]]]+=mn;
        ans+=mn*cost[edge[i]];
    }
}
int main(){
    m=read();n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=1;j<=m;j++){
            a[i][j]=read();
        }
    }
    S=0,T=n*m+n+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
     add(S,i,1,0);
    nodes=n;
    for (int i=1;i<=m;i++)
      for (int k=1;k<=n;k++)
       b[i][k]=++nodes,add(nodes,T,1,0);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      for (int k=1;k<=n;k++)
       add(i,b[j][k],1,k*a[i][j]);
    while (spfa()) updata();
    double Ans=(double)ans/n;
    printf("%.2f\\n",Ans);    
}

接下来我们讲讲二分图匹配。

二分图匹配就是说有一个二层图，层数不同的两个点之间有一些边，问如何选取一些边，使得一个点只被一条边选中，而且边的个数最多（求最大匹配）

其中最主要的算法就是匈牙利算法，朴素而迅速。

我们上图。

对于这个图我们先选到这一条边

 

然后我们找到下一个点，发现它连接的一条边的终点已经被选中了，所以我们试着让第一个点重新匹配一个没有被匹配过的节点

然后我们找到第三个节点，发现可以匹配。

当我们找到第四个节点时，发现它所对应的节点没有办法修改匹配，至此匈牙利算法结束，最大匹配为3

 而在我们进行匈牙利算法的时候有一些优化可以实现，比如如果一个点已经尝试匹配过，而且失败了，那么我们就不要尝试匹配了。（类似dfs减枝）

下面贴上算法

bool match(int u){
    S[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=g[i].next)
        if(!T[g[i].to]){
            T[g[i].to]=1;
            if(!lky[g[i].to]||match(lky[g[i].to])){
                lky[g[i].to]=u;lkx[u]=g[i].to;return true;
            }
        }
    return false;
}

注：现在起所有的算法如果我没有写例题我都只会列出核心代码，剩下的东西请视情况补充。QAQ