BZOJ 2005 [Noi2010]能量采集

Posted 2020-09-28 Doggu

狄利克雷卷积+欧拉筛+分块

2005: [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000

---

　　我们本来只打算讲一个晚上的数论，但是时间并不够。后来，又讲了一个上午，然而并没有讲完。于是下午再讲，基本上已无人再听。

　　身心俱疲。课件在这里

　　这道题要求一个n*m的矩阵中各整点与(0,0)连线上的整点总数。

由BZOJ 3505 [Cqoi2014]数三角形中推得，(x,y)与(0,0)上有k=gcd(x,y)-1个整点。而此处要求∑∑k*2+1=∑∑gcd(i,j)*2-1

　　这道题：∑∑gcd(i,j)=∑∑∑[d|i][d|j]phi(d)=∑(n/d)(m/d)phi(d)

　　因为：n=∑phi(d)。

　　明显先用欧拉筛，算出phi的前缀和。再分块，一个块中(n/i)(m/i)都相等。所以是O(n)预处理，O(sqrt(n))的单次询问（当然O(n)亦可）。

　　但是我们也可以使用容斥原理，算出∑∑gcd(i,j)。复杂度是O(nlg n)的。

　　代码如下（调了很久……前缀和导致的变化，long long的取值）：

 1 /**************************************************************
 2     Problem: 2005
 3     User: Doggu
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:4 ms
 7     Memory:2092 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 #include <cstdio>
11 #include <algorithm>
12 const int N = 100100;
13 int n, m, prime[N], ptot;
14 long long phi[N], ans;
15 bool vis[N];
16 void EULER(int n) {
17     phi[1]=1;
18     for( int i = 2; i <= n; i++ ) {
19         if(!vis[i]) prime[++ptot]=i, phi[i]=i-1;
20         for( int j = 1; j <= ptot; j++ ) {
21             if((long long)i*prime[j]>n) break;
22             vis[i*prime[j]]=1;
23             phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
24             if(i%prime[j]==0) {
25                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
26                 break;
27             }
28         }
29         phi[i]+=phi[i-1];
30     }
31 }
32 int main() {
33     scanf("%d%d",&n,&m);
34     if(n>m) std::swap(n,m);
35     EULER(n);
36     for( int a = 1, ed; a <= n; a=ed+1 ) {
37         ed=std::min(n/(n/a),m/(m/a));
38         ans+=(long long)(phi[ed]-phi[a-1])*(n/a)*(m/a);
39     }
40     printf("%lld\\n",ans*2-(long long)n*m);
41     return 0;
42 }

狄利克雷卷积+欧拉筛+分块