扩展GCD 中国剩余定理(CRT) 乘法逆元模版

Posted 2020-09-27 yfceshi

extend_gcd：

已知 a,b (a>=0,b>=0)

求一组解 (x,y) 使得 (x,y)满足

gcd(a,b) = ax+by

以下代码中d = gcd(a,b)。顺便求出gcd

能够扩展成求等式 ax+by = c,但c必须是d的倍数才有解,即 (c%gcd(a,b))==0

注意求出的 x,y 可能为0或负数

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乘法逆元：

a*b %n == 1

已知 a, n, 求b 就是乘法逆元

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中国剩余定理：

给定方程组:

x%a[0] = m[0]

x%a[1] = m[1]

···

x%a[n-1] = m[n-1]

求变量x 的值

m必须互质

当m不互质时用合并方程的做法：

（合并方程的原因：当我们把n条方程合并成1条时就是extend能求的了，extend能求一条方程的解

问题描写叙述：给出bi。ni的值。且n1, n2, n3,…, ni两两之间不一定互质，求Res的值？ 
解：採用的是合并方程的做法。

 
这里将以合并第一第二个方程为例进行说明 
由上图前2个方程得(设k1、k2为某一整数)： 

所以我们简化一下结论：

已知方程组（b1,b2,n1,n2是已知量）：

res%b1 = n1

res%b2 = n2

->

合并两条方程得到：

res % ( (n1*n2)/d ) = b1+n1*( K%(n2/d))

当中K = (k1*(b2-b1)/d) % (n2/d); 

当中d = gcd(n1,n2);

当中k1：

k1*n1 - k2*n2 = b2-b1

k1,d 能够直接由extend_gcd得到 extend_gcd(n1,n2,d,k1,k2);

(b2-b1)%d == 0 说明extend跑出的k1是一个解。否则说明不存在满足解的k1

注意求K时：为了得到最小非负整数K，所以用一个取模的技巧

K = (K%mod+mod)%mod;

例题及题解：点击打开链接

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若 a == b (mod n)

能推出以下2条等式

1： (a+c) == b+c (mod n)

2：ac == bc (mod n) （但 ac==bc(mod n) 不能推出 a==b(mod n)）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define ll __int64
ll gcd(ll a, ll b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
void extend_gcd (ll a , ll b , ll& d, ll &x , ll &y) {  
	if(!b){d = a; x = 1; y = 0;}
	else {extend_gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b);}
}
ll china(ll l, ll r, ll *m, ll *a){ //下标[l,r] 方程x%m=a;
	ll lcm = 1;
	for(ll i = l; i <= r; i++)lcm = lcm/gcd(lcm,m[i])*m[i];
	for(ll i = l+1; i <= r; i++) {
		ll A = m[l], B = m[i], d, x, y, c = a[i]-a[l];
		extend_gcd(A,B,d,x,y);
		if(c%d)return -1;
		ll mod = m[i]/d;
		ll K = ((x*c/d)%mod+mod)%mod;
		a[l] = m[l]*K + a[l];
		m[l] = m[l]*m[i]/d;
	}
	if(a[l]==0)return lcm;
	return a[l];
}