数论入门2——gcd,lcm,exGCD,欧拉定理,乘法逆元,(ex)CRT,(ex)BSGS,(ex)Lucas,原根,Miller-Rabin,Pollard-Rho

Posted 2021-02-07 ck6100lgev2

数论入门2

另一种类型的数论...

GCD,LCM

定义(gcd(a,b))为a和b的最大公约数，(lcm(a,b))为a和b的最小公倍数，则有：

将a和b分解质因数为(a=p1^{a1}p2^{a2}p3^{a3}...pn^{an},b=p1^{b1}p2^{b2}p3^{b3}...pn^{bn})，那么(gcd(a,b)=prod_{i=1}^{n}pi^{min(ai,bi)},lcm(a,b)=prod_{i=1}^{n}pi^{max(ai,bi)})(0和任何数的最大公约数是这个数，最小公倍数是0)

显然成立的吧。

所以我们有(gcd(a,b)*lcm(a,b)=ab)。

求(gcd(a,b))的方法：

首先我们有：(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)(a>=b))

显然的啊，两个数相减怎么可能影响他们的最大公约数，毕竟是“公”约数，相减肯定还存在这个因子啊。

所以拓展一下我们就有：(gcd(a,b)=gcd(b,a \% b)(a>=b))

取模就是不断相减，所以也是成立的呀。

所以我们可以写出简洁的代码：

int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}

很显然这个复杂度是log的，每次至少减少一半。

lcm的话，(a/gcd(a,b)*b)即可。

然后呢，gcd和lcm具有交换律和结合律：

(gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)=gcd(c,b,a))

所以求多个数的gcd或lcm的时候就可以递推求啦。

还有一个东西就是(gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b))，也是显然的。

exGCD

对于方程(ax+by=c)，显然若(gcd(a,b)|c)的时候才有解。

因为不整除的话(ax+by)肯定有(c)不包含的因子，那样的话怎么可能有解呢？

然后呢，我们可以通过这样的方式快速借助求gcd的过程求出(ax+by=gcd(a,b))的一组解。

当(a=gcd(a,b),b=0)时，显然(x=1,y=0)。

令(a = b, b = a \% b)，则有方程(b *x1 +(a \% b) * y1 = gcd(b, a \% b))

又因为(gcd(a, b) = gcd(b, a \% b))，且(a \% b = a - b * ?a / b?)

则(b * x1 + (a - b * ?a / b?) * y1 =gcd(a, b))

整理得：(a * y1 +b * (x1 - ?a / b? *y1) = gcd(a, b))

所以原方程中：(x = y1, y = x1 - ?a / b? *y1)。于是我们只要递归求出(x1, y1)就能求出(x, y)。

我们现在已经求得了(ax +by = gcd(a, b))的解,那么对于方程(ax + by = c (gcd(a, b) | c))呢？

因为已经知道(a *x1 +b * y1 = gcd(a, b))的解(x1, y1)，左右两边同乘以(c / gcd(a, b)) 得：

(a * x1 * c / gcd(a, b) +b * y1 * c / gcd(a, b) = c)

则原方程的一组解(，x2 = x1 * c / gcd(a, b)， y2 = y1 * c / gcd(a, b))

由此得出解集(，{(x, y) | x = x2 + k * b / gcd(a, b)， y = y2 - k * a / gcd(a, b), k ∈ Z})

对于线性同余方程(axequiv cquad(modquad b))，我们怎么做呢？

显然可以转化成(ax+by=c)的形式，然后直接用扩欧解决啦。

贴个代码：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){x=1;y=0;return a;}
    ll g=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
    return g;
}

欧拉定理

费马小定理：

若p是质数，且(gcd(a,p)=1)，则(a^{p-1}equiv1(modquad p))。

欧拉定理：

若(gcd(a,p)=1)，则(a^{varphi(p)}equiv1(nod quad p))。

扩展欧拉定理：

(a^bequiv egin{cases} a^{b\%varphi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p) eq1,b<varphi(p)\ a^{b\%varphi(p)+varphi(p)}~~~~gcd(a,p) eq1,bgeqvarphi(p) end{cases}~~~~~~~(mod~p))

(varphi)为欧拉函数。

证明：欧拉定理和扩展欧拉定理的证明

有个作用就是在算(a^b)的时候对b进行取模，使运算更高效，具体见luogu欧拉定理模板题

乘法逆元

若(gcd(a,b)=1,)(axequiv 1(mod~p))，则称x为a在模p意义下的乘法逆元。

那么求法就很显然了。

欧拉定理：a在模p意义下的逆元为(a^{varphi(p)-1})。

exGCD：当做一个同余方程求，但是要通过+kp的方式变为一个正数。

此外还有一个线性求逆元的算法。

首先，1在任何模数下的逆元都是1。

然后设(p=i*k+r,r<i,1<i<p)。

那么我们有(i*k+requiv 0(mod~p))

两边同时乘上(i^{-1}*r^{-1})得：

(k*r^{-1}+i^{-1}equiv 0(mod~p))

(i^{-1}equiv -k* r^{-1}(mod~p))

因为(k=lfloor p/i floor,r=p\%i)，所以我们得到了逆元的递推式：

a[i]=-(p/i)*a[p%i]%p;

以及提一句，逆元是完全积性函数，从定义式里面就能看出来。

对于一个前缀积的序列的话，我们可以求出最后一项的逆元，然后(O(n))递推回去，实际上逆元可以理解为模意义下的(frac{1}{x})，怎么递推的话也很显然了，以阶乘为例：

fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;
ifa[n]=ksm(fac[n],P-2);
for(int i=n-1;~i;i--) ifa[i]=ifa[i+1]*(i+1)%P;

还有就是：

((a/b)\%p=(a\%(bp))/ p)

证明：

((a/b)\%p=a/b-?(a/b)/p?*p)

(=a/b-?a/(b*p)?*p)

(=a/b-?a/(bp)?*b*p/b)

(=(a\%(bp) )/p)

CRT

已知系数全部为1的线性同余方程组：

(x equiv a_i(mod ~p_i))，其中(p_i)两两互质，求x的最小非负整数解。

那么我们考虑这样一个思路：

从1到n考虑每个同余方程组，我们设(M=prod_{i=1}^{n}p_i)，那么当我们考虑到第i个方程的时候，我们设(T=frac{M}{p_i})，那么我们发现把第i个方程的解(x)加上(kT)的话，(x+kT)带到别的同余方程组的余数不会改变。

假设我们已经求出了前(i-1)个方程的通解(x)，求出了第(i)个方程的一个解(x_i)，那么显然，(Tx_i+x)是前(i)个方程的解。

我们用exGCD求出第i个线性同余方程组(Tx_iequiv a_i(mod~p_i))的解，一步步合并即可，因为(p_i)显然和(T)互质，所以实际上是求出逆元之后乘上(a_i)。

exCRT

已知系数全部为1的线性同余方程组：

(x equiv a_i(mod ~p_i))，其中(p_i)都是正整数，求x的最小非负整数解。

上面的算法失效了。为什么？都不一定互质了怎么可能还去求逆元？

所以我们要考虑一个新的思路：

假设我们已经求出了前(i-1)个方程的通解(x)，设(M)为前i-1个数的lcm，那么我们发现(x+kM)如果能够满足第(i)个方程，那么前i个方程就都解出来啦。

我们写个式子：(x+kM equiv a_i(mod~p_i))，移项得(kM equiv a_i-x(mod ~p_i))。

那么我们解出来k之后，前i个方程的通解就出来啦，一步步做下去即可。

贴个代码：

ll mul(ll x,ll y,ll p){ll g=0;for(;y;y>>=1,x=(x+x)%p) if(y&1) g=(g+x)%p;return g;}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){x=1;y=0;return a;}
    ll g=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
    return g;
}
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);
ans=a[1];M=b[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
    ll A=M,B=b[i],c=(a[i]%B-ans%B+B)%B,x,y;
    ll gcd=exgcd(A,B,x,y),d=B/gcd;
    if(c%gcd) return 0;x=mul(x,c/gcd,d);
    ans+=x*M;M*=d;ans=(ans%M+M)%M;
}

注意一下，因为是求lcm，所以那个B要除以gcd。

BSGS

exBSGS

原根

Lucas

exLucas

Miller-Rabin

Pollard-Rho