中国剩余定理（孙子定理）

Posted 2020-11-21 darkchii

　　一些相关基本概念：群论、模运算、费马小定理、公约数、最大公约数、互质、逆元。

　　公约数：如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数。

　　最大公约数：两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的数称为最大公约数，记作gcd(a, b)。

　　　　gcd函数的基本性质：

$$ egin{align} gcd(a, b) &= gcd(b, a) \\ gcd(a, b) &= gcd(-a, b) \\ gcd(a, b) &= gcd(|a|, |b|) \\ gcd(a, 0) &= |a| \\ gcd(a, ka) &= |a| quad 对任意k in mathbb{Z} end{align} $$

　　　　推论：

$$ gcd(an, bn) = n   gcd(a, b) $$

　　互质：当gcd(a, b) = 1时，称a与b互质。

　　　　一些常用的判断条件：两个质数一定为互质数；一个质数与另一个不为其倍数的数为互质数；相邻的两个自然数是互质数；相邻的两个奇数是互质数。。。详细可见互质-百度百科。

　　逆元：$$ 对每个a in S，存在唯一的元素b in S，称为a的逆元，满有a igoplus  b = b igoplus a = e. $$

　　　　其中e为该群的单位元，乘法逆元的存在且唯一的条件是gcd(a, b) = 1。

　　现在来考虑一个模线性方程：

$$ ax equiv b(mod   n) $$

　　P.S.该方程可用在RSA公钥加密系统中。

　　几条很有用的定理及推论：

　　定理1

$$ 对任意正整数a和n，如果 d=gcd(a, n) ，则在 mathbb{Z}_n 中，$$

$$ <a> = <d> = {0,d,2d, cdot cdot cdot ,(frac{n}{d} - 1)d} $$

因此，

$$ |<a>| = frac{n}{d} $$

$$ 其中<a>表示由a生成的 mathbb{Z}_n 的子群 $$

　　推论1　　当且仅当d|b时，方程 ax Ξ b(mod n) 对于未知量x有解，这里d = gcd(a, n).

　　推论2　　方程 ax Ξ b(mod n) 或对模 n 有 d 个不同的解，或者无解，这里 d = gcd(a, n).

　　定理2

$$ 令 d = gcd(a, n) ，假设对某些整数 x‘和y‘ ，有 ax‘ + ny‘ 。 $$

$$ 如果 d|b ，则方程 ax equiv b (mod   n) 有一个解的值为 x_0 ，这里 \\ x_0 = x‘ frac{b}{d} mod   n $$

　　定理3

$$ 假设方程 ax equiv b(mod   n) 有解（即 d|b， 这里 d = gcd(a, n)），且 x_0 是该方程的任意一个解。 $$

$$ 因此，该方程对模 n 恰有 d 个不同的解，分别为 x_i = x_0 + i frac{n}{d} ，这里 i = 0,1, cdot cdot cdot ,d - 1. $$

　　推论3　　对于任意 n > 1，如果 gcd(a, n) = 1， 则方程 ax Ξ b(mod n) 对模 n 有唯一解。

　　　　如果 b = 1，则要求的 x 是 a 对模 n 的乘法逆元。

　　推论4　　对于任意 n > 1，如果 gcd(a, n) = 1， 那么方程 ax Ξ 1(mod n) 对模 n 有唯一解；否则方程无解。

　　　　在 a 和 n 互质时，可以用记号 a^-1 mod n 来表示 a 对模 n 的乘法逆元。此时 gcd(a, n) = 1 = ax + ny 意味着 ax Ξ 1(mod n).

　　证明我都略过不写了，因为证明还是看书最好；上面这两条推论我认为很重要。

　　费马小定理：

　　费马小定理实际上是欧拉函数的一个特殊情况，可以利用费马小定理求逆元：

$$ egin{aligned} a^{p - 1} &equiv 1 (mod   n) \\ a*a^{p - 2} &equiv 1 (mod n) end{aligned} $$

$$ ax equiv 1 (mod   n) Rightarrow x = a^{p - 2} mod   n $$

　　现在来考虑如下同余方程组：

$$ left{egin{aligned} x &= a_1 (mod   m_1) \\ x &= a_2   (mod   m_2) \\ & cdot cdot cdot \\ x &= a_n   (mod   m_n) end{aligned} ight. $$

　　前面做的题中提到过，该方程组有解的条件是 m_i 两两互质，并且通解形式为：

$$ x = kM + sum a_i t_i M_i , quad k in mathbb{Z} $$

　　而在模 M 的意义下才有唯一解，解的形式为：

$$ x = egin{pmatrix} sum a_i t_i M_i end{pmatrix} mod M $$

$$ 其中M = prod m_i，M_i = frac{M}{m_i}，t_i为M_i的逆元，a_i为余数 $$

　　最后，用之前做的例题来计算一下：

　　　　m = 3,5,7，将其写为方程组形式：

$$ left{egin{aligned} x &= a_1   (mod   3) \\ x &= a_2   (mod   5) \\ x &= a_3   (mod   7) end{aligned} ight. $$

　　　　于是 M = 105, M₁ = 35, M₂ = 21, M₃ = 15。下面求逆元，这里可以用费马小定理来求解，也可以通过扩展欧几里得算法来求解，或者还可以肉眼计算。

　　　　费马小定理：

$$  egin{aligned} 35   t_1 &equiv 1(mod 3) \\ \\ 35 cdot 35^1 &equiv 1(mod 3) Rightarrow egin{aligned} t_1 &= 35^1   mod   3 \\ &= 3 cdot 11 + 2 \\ &= 2 end{aligned} end{aligned} $$

$$  egin{aligned} 21   t_2 &equiv 1(mod 5) \\ \\ 21 cdot 21^3 &equiv 1(mod 5) Rightarrow egin{aligned} t_2 &= 21^3   mod   5 \\ &= 21^2 cdot 21 mod 5 \\ &= 4 cdot 5 + 1 mod   5 \\ &= 1  end{aligned} end{aligned} $$

$$ egin{aligned} 15   t_3 &equiv 1(mod 7) \\ \\ 15 cdot 15^5 &equiv 1(mod 7) Rightarrow egin{aligned} t_3 &= 15^5   mod 7 \\  &= 15^4 cdot 15 mod 7 \\ &= 2 cdot 7 + 1 mod   7 \\ &= 1 end{aligned} end{aligned} $$

　　　　肉眼观察法：由

$$ M_i t_i equiv 1(mod m_i) $$

　　　　有

$$ egin{aligned} 35   t_1 &equiv 1(mod 3) \\ \\ 35 cdot 2 &equiv 1(mod 3) Rightarrow t_1 = 2 end{aligned} $$

$$ egin{aligned} 21   t_2 &equiv 1(mod 5) \\ \\ 21 cdot 1 &equiv 1(mod 5) Rightarrow t_2 = 1 end{aligned} $$

$$ egin{aligned} 15   t_3 &equiv 1(mod 7) \\ \\ 15 cdot 1 &equiv 1(mod 7) Rightarrow t_3 = 1end{aligned} $$

 　　　　又

$$ x = egin{pmatrix} sum a_i t_i M_i end{pmatrix} mod M $$

　　　　且 M = 105, M₁ = 35, M₂ = 21, M₃ = 15。于是可得到公式 x = [a·(35×2) + b·21 + c·15]%105。

　　主要参考：

　　　　1.https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%92%E8%B4%A8/577412?fr=aladdin

　　　　2.https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86/4776158?fr=aladdin

　　　　3.https://baike.baidu.com/item/%E4%B9%98%E6%B3%95%E9%80%86%E5%85%83/5831857?fr=aladdin

　　　　4.https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%99%E5%AD%90%E5%AE%9A%E7%90%86/2841597?fr=aladdin

　　　　5.https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0

　　　　6.算法导论

　　其他参考：

　　　　7.https://www.cnblogs.com/dupengcheng/p/5487362.html