细胞 (cell) 矩阵快速幂

Posted 2020-09-27 kakakakakaka

细胞 (cell)

题目描述
小 X 在上完生物课后对细胞的分裂产生了浓厚的兴趣。于是他决定做实验并
观察细胞分裂的规律。
他选取了一种特别的细胞，每天每个该细胞可以分裂出 x 1 个新的细胞。
小 X 决定第 i 天向培养皿中加入 i 个细胞（在实验开始前培养皿中无细胞）。
现在他想知道第 n 天培养皿中总共会有多少个细胞。
由于细胞总数可能很多，你只要告诉他总数对 w 取模的值即可。
输入格式
第一行三个正整数 n; x; w。
输出格式
一行一个数表示第 n 天的细胞总数对 w 取模的值。
样例输入
2 2 47
样例输出
4
2
数据范围
对于 30% 的数据，n ≤10^7
对于另外 10% 的数据，x = 1
对于 100% 的数据，1≤n≤2^63-1    1≤x,w≤2^31-1

1.2 30 分做法
直接使用上述公式暴力递推，复杂度 O(n) 。
1.3 40 分做法
对于 x = 1 的情况，即为求 1 n 的和，直接输出即可。
1.4 100 分做法
使用矩阵快速幂优化递推。
矩阵大小为 3 *3 ，故复杂度为 O(27logn) 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol n,x,w;
lol gi()
{
    lol ans=0,f=1;
    char i=getchar();
    while(i<‘0‘||i>‘9‘){if(i==‘-‘)f=-1;i=getchar();}
    while(i>=‘0‘&&i<=‘9‘){ans=ans*10+i-‘0‘;i=getchar();}
    return ans*f;
}
struct matrix
{
    lol a[3][3];
    matrix(){for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++)a[i][j]=0;}
    matrix(lol b[3][3]){for(int i=0;i<3;i++)for(int j=0;j<3;j++)a[i][j]=b[i][j];}
    matrix operator *(matrix b)
    {
        matrix ans;
        for(int i=0;i<3;i++)
            for(int j=0;j<3;j++)
                for(int k=0;k<3;k++)ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+(a[i][k]*b.a[k][j])%w)%w;
        return ans;
    }
}S,T;
lol f(lol x,lol n)
{
    lol a[3][3]={{0,1,1},{0,0,0},{0,0,0}},b[3][3]={{x,0,0},{1,1,0},{0,1,1}};
    S=matrix(a);T=matrix(b);
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            S=S*T;
        }
        T=T*T;
        n>>=1;
    }
    return S.a[0][0];
}
int main()
{
    int i,j;
    n=gi();x=gi();w=gi();
    x%=w;
    printf("%lld",f(x,n));
    return 0;
}