矩阵快速幂

Posted 2021-01-07 utopia999

线性递推可用矩阵快速幂(O(log nk^3))解。

构造系数矩阵的方法是先列出转移式，然后看哪些项是要的填为1，否则填0。如对[f_{i,0}=f_{i-1,1}] [f_{i,1}=f_{i-1,0}]

则构造矩阵

矩阵快速幂代码如下：

const int D[6][6] = {{1, 1, 1, 1, 1, 0},
                     {1, 0, 0, 1, 0, 0},
                     {1, 0, 0, 0, 0, 1},
                     {1, 1, 0, 0, 0, 0},
                     {1, 0, 0, 0, 0, 0},
                     {0, 0, 1, 0, 0, 0}};
const int F[6] = {1, 0, 0, 0, 0, 0};
int n;

int d[6][6], f[6], g[6], gd[6][6];
inline void calcf() {
    memset(g, 0, sizeof(g));
    for(int i = 0; i < 6; i++) for(int j = 0; j < 6; j++) Sum(g[i], prod(f[j], d[i][j]));
    memcpy(f, g, sizeof(g));
}
inline void calcd() {
    memset(gd, 0, sizeof(gd));
    for(int k = 0; k < 6; k++) for(int i = 0; i < 6; i++) for(int j = 0; j < 6; j++) Sum(gd[i][j], prod(d[i][k], d[k][j]));
    memcpy(d, gd, sizeof(gd));
}

int main() {
    while(n) {
        if(n&1) calcf();
        calcd();
        n >>= 1;
    }
    // ...
}