卡特兰数(网上集合)

Posted 2020-09-25 simpleknight

卡特兰数：

1 通项公式：h(n)=C(n,2n)/(n+1)=(2n)!/((n!)*(n+1)!)

2递推公式:h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0).

3前几项为：h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5,h(4)=14,h(5)=42,......

4应用场景：

a.括号化问题。
　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
b.出栈次序问题。
　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：
　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人

      买 票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。

c.将多边行划分为三角形问题。
　　(1)将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

 

　　(2)类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那　　          么有多少条可能的道路？

 

　　(3)类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

                     圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

d.给顶节点组成二叉树的问题。
　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
　　(一定是二叉树!先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是

      h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))（能构成h（N）个）。

• C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况: