谁有卡特兰数的证明过程?

Posted 2023-05-16

参考技术A 卡特兰数又称卡塔兰数,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名.
令h(1)＝1,h(0)=1,
catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ...+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
用给定节点组成二叉树的问题
给定N个节点,能构成多少种不同的二叉树?（能构成h（N）个）

[SCOI2010]生成字符串 题解（卡特兰数的扩展）

[SCOI2010]生成字符串

Description

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入格式：输入数据是一行，包括2个数字n和m;

输出格式：输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数;

Solution

1.本题可看为使组成01串中任意前缀中1的个数比0多，而0和1的个数不等；

2.我们可以将0看做向上走，1看做向右走，求从原点走到(n,m)不越过y=x的不同方案数；

3.那么我们考虑卡特兰数通项公式的来源，本题解可化为总方案数-不可行方案数，不合法方案数即为触碰到y=x+1的方案数，即C(n+m,m)-C(n+m,m-1)= (n+m)!/(n+1)!m!(n-
m+1)%20100403;

4.用扩展欧几里得求模mod=20100403剩余系下分母的逆元，计算对应的ans即可；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const long long mod=20100403;
long long n,m,i,ans,j,k,q;

void exgcd(long long a,long long b,long long &gcd,long long &x,long long &y) //Çó³Ë·¨ÄæÔª
{
    if(!b){
		x=1;
		y=0;
		gcd=a;
		return;
	}
    exgcd(b,a%b,gcd,y,x);
	y-=x*(a/b);
	return;
}

long long cul(long long a,long long b)
{
    long long gcd,x,y; 
	exgcd(a,b,gcd,x,y);
    if(gcd==1)return(x+b)%b;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
	j=n-m+1;
	k=n+1;
    for(i=n+1;i<=n+m;i++)j=(j%mod)*(i%mod)%mod;
    for(i=2;i<=m;i++)k=(k%mod)*(i%mod)%mod;
    q=cul(k,mod);
	ans=j*q%mod;
    printf("%d\\n",ans); 
	return 0;
}

卡特兰数基础知识部分可以参考我的题解：http://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/8450053.html