leetcode 不同的二叉搜索树-笛卡尔积与卡特兰数

Posted 2021-02-21 牛有肉

　　首先，我们假定求长度为 n 的数列可组成的二叉搜索树的数量为 G(n)。

　　想办法将 G(n) 用其子问题表示，如果我们以第 i 个元素为根，则其左子树的数量为 G(i-1)，右子树的数量为 G(n-i) 。那么以第 i 个元素为根的二叉搜索树的数量为 G(i-1) 与 G(n-i) 两个集合的笛卡尔积：G(i-1)*G(n-i)。

　　想要覆盖全部解空间，我们必须将以每个元素为根的情况都计算出来，并求它们的和，那么状态转移方程即为：

　　

 　　边界条件 G(0)=0 ；G(1)=1 ； 但是 G(0) 我们需要做特殊处理，对于我们的计算情景来说，如果一侧的二叉树种类为 0 ，那么总的种类应该是另一侧的种类，也就是说 G(0) 应当为 1。

　　同时 n-i 需大于等于 0 ，也就是 n 需要大于等于 1。

　　所以，计算 G(n) 依赖 G(0)、G(1) ... G(n-1) ，且 n >=1 。对该方程进行实现：

    public int numTrees(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        int[] g = new int[n + 1];
        g[0] = 1;
        g[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                g[i] += g[j - 1] * g[i - j];
            }
        }
        return g[n];
    }

　　上面描述的 G(n) 函数被称为卡特兰数：

　　通过卡特兰数公式进行计算，可以将时间复杂度降低到 O(N):

public int numTrees(int n) {
    long C = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return (int) C;
  }

　　将问题分解为子问题，用子问题的解表示原问题的解。也就是问题表示问题，用函数表示函数，可以帮助我们直接找到解决问题所需要的上层逻辑，也就是问题间的逻辑关系。从而屏蔽掉很多不需要的底层逻辑细节，得到最简洁干净的表示方式。