matlabmatlab与线性代数实验基础

Posted 2020-09-24

    matlab与线性代数实验基础

作者：xuan97916

一、行列式

     1、行列式的输入

      方括号内逐行键入元素，同一行元素用逗号或者空格，两行元素之间用分号隔开。

  在命令的末尾使用分号会终止输出！

A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

  2、行列式元素的表示

         可以用一个下标表示（从上到下之字形）也可以用两个下标表示（行列）如

         A(1,2) =A（4）

3、行列式的基本运算

·         （1）读取整行：A(行数,:)

（2）读取整列：A(:,列数)

(3)读取行列式中的部分行列b=A([行数,行数```],[列数,列数```])

(4)去掉行列式中的某些行列

    A([行数,行数,…],:) =[ ]

    A(:,[列数,列数,…]) =[ ]

(5)计算行列式的值

det(A)

二、矩阵

     1、矩阵的输入

         生成m阶单位方阵：eye(m)

生成m*n阶单位矩阵：eye(m,n)

生成m阶全1方阵：ones(m)

生成m*n阶全1矩阵：ones(m,n)

生成m阶全0方阵：zero(m)

生成m*n阶全0矩阵：zeros(m,n)

 2、矩阵的输入

     加法：A+B

减法：A-B

数乘：k*A

矩阵乘法：A*B

矩阵转置：A’或者Transpose[A]

矩阵的逆：inv（A）

矩阵的行列式 det(A)

矩阵的幂：A^m

3、矩阵的相关函数

     （1）生成矩阵的行数与列数：size（A）

              第一个数是矩阵的行数，第二个数是矩阵的列数。

     （2）生成对角矩阵：diag（A）

              生成对角矩阵主对角线上的元素

     （3）生成上三角矩阵：triu（A）

     （4）生成下三角矩阵：tril（A）

三、矩阵的应用
     1、向量组的秩：rank（A）

2、判断线性相关性

一般步骤（1）输入向量组

                  （2）用A’将行向量转置为列向量

··                 （3）用rref（A）命令求秩

例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。

>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩

>>rank(A)   %求秩

Ans = 3

（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）

     3、求向量组的极大无关组

     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置

                    （2）化为分数形式

                    （3）将向量化为行最简型

                   （4）对线性相关性进行判断

     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）

  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，

a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)

>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型

ans =

        1      0    0     2     1

        0      1    0    -3     5

        0      0    1     4    -5

        0      0    0     0     0

 因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。

 

例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4) 

解：

A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型

A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示

3、线性方程组的求解

         （1）使用克莱姆法则求解

>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

>>D=det(A)  %判断解的情况

D =  27     

>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

%将A赋值给不同变量

>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列

x1=D1/D    %x求解x1

x1 = 3

>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

（2）使用矩阵左除法求线性方程的解

线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.

>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];

>> x=A\b        %左除法

x =

    3.0000

   -4.0000

   -1.0000

    1.0000

(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解

  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；

（3）得到方程组的解。

例：求解线性方程组

>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵

>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵

F =

     1     0    2     0

     0     1   -1     1

     0     0    0     0

由该阶梯形矩阵，可得方程组：x₁=-2x₃    x₂=x₃+1

方程组解为:

（4）求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。

一般步骤为：

第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）

第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）

第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例：判断方程组

%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩

>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

>> b=[1;1;-1];    %常数b

>> rank(A)     %系数矩阵的秩

ans =

     2

>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩

ans =

     2

%求通解

化行最简形，用rref命令

>> rref([A,b])

ans =

     1    -1    0     0     0

     0     0    1    -1     1

     0     0    0     0     0

取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：

>>x0=A\b       %方程组的一个特解

x0 =

     0

     0

     1

     0

>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系

x1 =

  -0.7071               0

   -0.7071               0

   -0.0000        0.7071

  -0.0000       0.7071

故原方程组的通解为

(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上‘r‘则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,‘r‘))

四、运用矩阵运算进行图像处理

     1、图像的读写

         Imread：读入各种图像文件

        [I,map]=imread(‘face.gif’)

         Imwrite:输出图像，将图像数据矩阵写入文件中

         Imwrite（i，‘face.gif’）

         Imwrite（i，map，‘face.gif’）

     2、图像的显示

         Imshow：显示各种图像的函数

              其中I是图像数据矩阵，map是对应的颜色矩阵：

              [I,map]=imread(‘face.gif’)

              Imshow(I,map)

3、窗口的多开

[I,map]=imread(‘face.gif’)

Imshow(i.map)

[j,map]=imread(‘flowers.gif’)

Figure,imshow(j,map)  %实现（j，map）窗口的多开

4、查看图像的大小

     [I,map]=imread(‘face1.gif’)

Size(i)

Ans=140 144   %表示高为140 宽为144

5、多幅图像显示在同一个对话框中

    Subplot（n,m,p）将一个显示对话框分成m行n列，并显示第p幅图像

    Subplot（2，2，3），imshow（I3），title（‘I3图像’）

    表示将一个图像显示对话框分成2行2列，并在第3个位置显示I3图像，图像标题为“   I3图像”

           6、读取图像的基本操作

       例1：读取gif类型的图像

       >>[i.map]=imread(‘face.gif’)

       >>Size(i)

       >>size(map)

      >>imshow(i.map)

       >>A=[0 0 0;0 1 0;0 0 1] %设置颜色变换矩阵A

       >>map=map*A       %利用矩阵修改颜色表数据map

       Imshow（I,map）

       例2：读取jpg类型的图像文件

       >>[I,map]=imread(‘face.jpg’)

       >>size(i)

       >>size(map)

       >>imshow(I,map)

       >>i((：，：，2)=i(：，：，2)*0 //将绿色矩阵的值设置为0

       >>imshow(I,map)

7、图像相加、相减、数乘

    （1）相加：降低图像噪声的影响

    （2）相减：将两图的差异显示出来

    （3）数乘：数乘大于1的数，亮度增加；

                      数乘小于1的数，图像变暗

五、在处理图像水印中的应用

    将水印嵌入到图像中实质上是进行两个图像矩阵的加法运算

去掉水印则是进行矩阵减法运算。

（1）例：利用矩阵运算往图像中嵌入文字水印的例子。

1．读取原图像hudie.jpg到I中。

>>I=imread(‘hudie.jpg‘);

>>imshow(I)

2．读取原图像hudie.jpg的大小，并将图像的高、宽存到m、n中。

>>s=size(I);

>> m=s(1)

>> n=s(2)

3．读取水印图像huaduo_sy.jpg到J中，并将图像大小调整成与原图像相同。使用imresize()函数可以改变图像的大小。

>>J=imread(‘xiaohui_sy.jpg‘);

>>imshow(J);

>>J1=imresize(J,[m,n]);          //将图像矩阵J的高、宽变为m*n

4．将水印图像的红、绿、蓝三个颜色矩阵乘上系数0.3，以降低像素点颜色的饱和度。

>>J1(:,:,1)= J1(:,:,1)*0.3;

>>J1(:,:,2)= J1(:,:,2)*0.3;

>>J1(:,:,3)= J1(:,:,3)*0.3;

5．将原图像与改变后的水印图像相加，嵌入水印。

>>I1=im2double(I);

>>J2=im2double(J1);

>> A=I1+J2;

>>imshow(A);

6．将嵌入水印后的图像保存在hudie_add.jpg文件中。

>>imwrite(A,‘hudie_add.jpg‘)

7．将处理过的数字图像水印保存在xiaohui_syh.jpg文件中。

>>imwrite(J1, ‘xiaohui_syh.jpg‘)

（2）去掉数字图像水印

例：利用矩阵运算去掉图像中的数字图像水印的例子。

1．读取嵌入水印的图像hudie_add.jpg到SA中。

>>SA=imread(‘hudie_add.jpg‘);

>> imshow(SA)  

2．读取处理过的水印图像xiaohui_syh.jpg到I中。

>> I=imread(‘xiaohui_syh.jpg‘);

3．将嵌入水印后的图像与处理后的水印图像相减，去掉水印。

>> SA1=im2double(SA);

>> I1=im2double(I);

>> A=SA1-I1;

>> imshow(A);

六、利用矩阵运算实现图形的几何变换

     1.二维图形变换

         

2、二维图形组合变换

         

3、plot函数

（1）plot（Y）

         如果Y 是向量，则以向量的索引为横坐标，以向量元素值为纵坐标绘制图形，以直线段顺序连接各点；如果 Y 是矩阵，则绘制 Y 的各列；如果 Y是复向量，则以复数的实部为横坐标，虚部为纵坐标绘制图形

（2）plot(x,y)

命令中的 x 和y 可以为向量和矩阵，当x和y的结构不同时，有不同的绘制方式。

–x、y 均为 n 维向量时，以x 的元素为横坐标，y 的元素为纵坐标绘制图形。

–x 为 n 维向量，y 为m×n 或 n×m 矩阵时，以 x 的元素为横坐标，绘制 y 的 m 个n 维向量。

–x、y 均为 m×n 矩阵时，以x 的各列为横坐标，y 的对应列为纵坐标绘制图形。

（3）plot(x,y,LineSpec)

该命令中加入了 LineSpec参数，用于对图形外观的控制，包括线条的形状、颜色和点的形状、颜色。该参数的常用设置选项如表所示。

（4）图形的比例变换

    

其中a代表横坐标放大的系数，d代表纵坐标放大的系数

     例1：由（1，2）、（4，5）、（3，6）三点组成的三角形，将其横坐标和纵坐标同时放大2倍，求所得三角形的三点坐标。

>>x=[1;4;3;1];   %将第一个坐标在末尾重复写一遍表示图形闭合

>>y=[2;5;6;2];

>>A=[x y];

>>C=[2 0;0 2]; %C为变换矩阵，使得其横纵坐标同时变为2倍

>>B=A*C;

>>a=B(:,1);

>>b=B(:,2);

>> plot(x,y,‘:‘,a,b)    %显示两个图形的对比状态

（5）图形的对称变换

     A）对称x轴

         变换矩阵为：

                            

       

B）对称Y轴

变换矩阵为：

C）对称坐标原点

     变换矩阵为：

（6）图形的旋转变换

图形在平面上绕坐标原点逆时针旋转   角，图形发生旋转变换。

变换矩阵为：  注意：变换角度单位为弧度角！

变换为：

例：由（1,2）、（4，5）、（3，6）三点组成三角形，求将其逆时针旋转45弧度角后所得的图形。

x=[1;4;3;1];

y=[2;5;6;2];

A=[xy];

C=[cos(45)sin(45);-sin(45) cos(45)];

B=A*C;

a=B(:,1);

b=B(:,2);

plot(x,y,‘:‘,a,b)

（7）平移变换

将图形沿X方向移动距离m，沿Y方向移动距离n，图形形状保持不变，图形各点的坐标分别增加了平移量m和n。

平移变换的矩阵运算表示为 :

例：由（1,2）、（4，5）、（3，6）三点组成三角形，求将其横坐标向右平移4，纵坐标向上平移5后所得的图形。

x=[1;4;3;1];

y=[2;5;6;2];

z=[1;1;1;1];

A=[x y z];

C=[1 00;0 1 0;4 5 1];

B=A*C;

a=B(:,1);

b=B(:,2);

plot(x,y, ‘:‘,a,b)

（8）综合应用

例：由（0，0）、（2，0）、（1，2）三点组成三角形，将其各点坐标沿轴向上平移4后，再绕坐标原点逆时针旋转45弧度后，求所得的图形。

x=[0;2;1;0];

y=[0;0;2;0];

z=[1;1;1;1];

A=[x yz];

C=[1 0 0;0 1 0;0 4 1];

D=[cos(45)sin(45) 0;-sin(45) cos(45) 0;0 0 1]; %如果进行了平移变化后，再进行旋转变换时，注意将旋转变化的矩阵的阶数提高，第一第二列补0，第三列为0 0 1

E=C*D;

B=A*E;

a=B(:,1);

b=B(:,2);

plot(x,y, ‘:‘,a,b)

七、Hill加密算法

     1、基本步骤

         加密：

         （1）将明文信息分组，每组s个数值，组成n组明文向量

         （2）选定一个加密密钥，其阶数为s，将这个密钥分别左乘每个数值矩阵

         （3）对矩阵进行模26运算，得到密文向量

例：

         解密：

即将密文按同样方式分组，用逆矩阵对其进行处理，对出现的负值加上26得到明文向量

>>x1=[19;20;21];  %密文1

>>x2=[4;25;13];  %密文2

>>x3=[1;20;8];         %密文3

>>A=[1 2 3;1 1 2;0 1 2]  %加密密钥

>>det(A)    %求矩阵的行列式，判断是否可逆

ans = -1

>>B=inv(A)   %B是A的逆

>>X1=A*x1;

>>X2=A*x2;

>>X3=A*x3;

>>y1=mod(X1,26)

>>y2=mod(X2,26)

>>y3=mod(X3,26)

>>x1=B*y1

>>x2=B*y2

>>x3=B*y3

最后，生成明文信息。MATLAB代码如下：

>> x1=mod(x1,26)

>>x2=mod(x2,26)

>>x3=mod(x3,26)

注意：要根据密码表的总数来确定模除法的数值

    作者：xuan97916

              参考资料： [1]王艳君,赵明华,李文斌，线性代数实验教程[M],清华大学出版社，2011.12

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