编程之美初赛第一场

Posted 2020-09-21 gavanwanggw

题目3 : 活动中心

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描写叙述

A市是一个高度规划的城市。可是科技高端发达的地方，居民们也不能忘记运动和锻炼，因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心。方便居住在A市的居民们能随时开展运动。锻炼强健的身心。

城市规划局希望活动中心的位置满足下面条件：

1. 到全部居住地的总距离最小。

2. 为了方便活动中心的资源补给和其它器材的维护，活动中心必须建设在A市的主干道上。

为了简化问题。我们将A市摆在二维平面上，城市的主干道看作直角坐标系平的X轴，城市中全部的居住地都能够看成二维平面上的一个点。

如今。A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。

输入

第一行包含一个数T。表示数据的组数。

接下来包括T组数据，每组数据的第一行包括一个整数N。表示A市共同拥有N处居住地

接下来N行表示每处居住地的坐标。

输出

对于每组数据。输出一行“Case X: Y”，当中X表示每组数据的编号(从1開始)。Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上，不论什么与标准答案的绝对误差或者相对误差在10-6以内的结果都将被视为正确。

数据范围

小数据：1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10

大数据：1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 105

对于全部数据。坐标值都是整数且绝对值都不超过106

例子解释

例子1：活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)

例子输入

1
3
1 1
2 2
3 3

例子输出

Case 1: 1.678787

分析：初看此题，感觉不难，目标是在X轴上找一个点，让它距离全部点距离之和最小。可是一动手做才发现不知道从哪里切入。由于假设从最小的X遍历到最大的X的话，无法设置步长（题目精确到了10^-6），所以还得找其它方法。

1、对目标函数求导。目标函数是 y=((x-x1)^2+y1*y1)^1/2+((x-x2)^2+y2*y2)^1/2+...，我们的目标是找到它的最小值，对它求导后，令导数等于0，此时的 x 就是我们要找的目标函数极小值处的 x 。可是导数=0也不好解。继续对导数求导发现其是恒大于0的，也就是说导数是递增的。所以导数的值应该是由负到正变化的，故目标函数应该是先递减后递增，有极小值，我们对导数应用二分法，找到它等于0处的点；关键代码例如以下：

while(fabs(l-h)>= 0.00000001){
      mid= (l+h)/2;
      if(calcu(mid)){  //计算导数值是否 >=0，若是。继续往右找
         h= mid;
      }else{   //否则。往左找
         l= mid;
      }
}

//calcu函数关键部分。求导数值

for(int i= 0; i< len; ++i){
    a= mid-point[i].first;
    b= sqrt(a*a+(point[i].second*point[i].second));
    sum+=a/b;
 }

return sum>=0;

2、看到还有一位网友说，能够用三分法（我还是头一次听说这个三分法。。），即找一个全局的中间点mid，再找一个右半部分的mid，比較二者的目标函数值。谁小就往那边移动边界；

    double midl,midr,le,re,lme,rme;
    while(maxX-minX>eps)
    {
       midl=(minX+maxX)/2;  //全局mid
       midr=(midl+maxX)/2;  //右半段的mid，故为三分
       lme=GetDis(midl);   //计算目标函数值，即距离之和
       rme=GetDis(midr);
       if(lme>rme)
         minX=midl;
       else maxX=midr;
    }

參考链接：

http://blog.csdn.net/kunlong0909/article/details/24120343

http://www.tuicool.com/articles/iEjMBzv

http://94it.net/a/jingxuanboke/2014/0419/302083_2.html