Prufer序列

Posted 2020-09-20 Oncle_Ha

Prufer序列

构造与转换

　　树->序列 步骤:(是树，而不是森林)

　　　　①、找到当前度数最小的点x（相同的取标号小的）

　　　　②、删除x及其边。将所有与x相邻的点加入当前prufer序列后面。

　　不断重复①、②直到图中只有两个点。

　　序列->树 步骤：(保证树原本序号为排列，设G={1..n})

　　　　①、找到G在Prufer序列中未出现的最小数x

　　　　②、x向Prufer序列首项y连边，然后将x从G中删除，将Prufer首项删除(只删一个)。

　　不断重复①、②直到G中只有两个点，连一条边。

性质

　　设树中每个点度数为$d_i$，那么点i会在Prufer序列中出现$d_i-1$次。ps:$\sum d_i=2*n-2$

　　不同的Prufer序列对应不同的无根树。(没有出现的都按钦点的顺序连边，以保证标号不同)

　　不同的定义：树形不同或标号不同。（不能经过旋转拉伸变成一样的树）

例题

　　BZOJ1211：给出每个点的度数，求不同合法的树个数。

　　根据上述构造方法：$Ans=(n-2)!*\prod  \frac{1}{(d_i-1)!}$ 或者利用排列数计算

　　程序实现(排列计算)：

for(Ans=1,sum=0,i=1;i<=n;i++) 
     Ans*=A(n-2-sum,di-1),sum+=di-1;//A(x,y)=x!/(x-y)!

　　ps：该题需要判树不存在的情况。

　　BZOJ1005：有些点度数未知，求不同合法的树个数。

　　记Sum为已知度数的方案数，Sd为已知点的$\sum d_i -1$，m为未知的点数，$Ans=Sum*C(n-2,n-2-Sd)*m^{n-2-Sd}$

?　　大概需要一个高精度。T^T

　　BZOJ1430：自己看题吧。

　　$Ans=(n-1)!*n^{n-2}$ ps:$n^{n-2}$意味无根树个数，$(n-1)!$即边的出现顺序。

　　注意long long...

总结

　　利用性质转换为序列问题，然后组合数求解。