汉诺塔问题递归算法分析

Posted 2020-09-20 路人姜。

转自:http://www.cnblogs.com/zhangqqqf/archive/2008/09/12/1289730.html

一个庙里有三个柱子，第一个有64个盘子，从上往下盘子越来越大。要求庙里的老和尚把这64个盘子全部移动到第三个柱子上。移动的时候始终只能小盘子压着大盘子。而且每次只能移动一个。

　　1、此时老和尚（后面我们叫他第一个和尚）觉得很难，所以他想：要是有一个人能把前63个盘子先移动到第二个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第三个柱子，再让那个人把刚才的前63个盘子从第二个柱子上移动到第三个柱子上，我的任务就完成了，简单。所以他找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第二个和尚），命令：

          ① 你丫把前63个盘子移动到第二柱子上

          ② 然后我自己把第64个盘子移动到第三个柱子上后

          ③ 你把前63个盘子移动到第三柱子上

      2、第二个和尚接了任务，也觉得很难，所以他也和第一个和尚一样想：要是有一个人能把前62个盘子先移动到第三个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第二个柱子，再让那个人把刚才的前62个盘子从第三个柱子上移动到第二个柱子上，我的任务就完成了，简单。所以他也找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第三和尚），命令：

          ① 你把前62个盘子移动到第三柱子上

          ② 然后我自己把第63个盘子移动到第二个柱子上后

          ③ 你把前62个盘子移动到第二柱子上

　　3、第三个和尚接了任务，又把移动前61个盘子的任务依葫芦话瓢的交给了第四个和尚，等等递推下去，直到把任务交给了第64个和尚为止（估计第64个和尚很郁闷，没机会也命令下别人，因为到他这里盘子已经只有一个了）。

　　4、到此任务下交完成，到各司其职完成的时候了。完成回推了：

第64个和尚移动第1个盘子，把它移开，然后第63个和尚移动他给自己分配的第2个盘子。
第64个和尚再把第1个盘子移动到第2个盘子上。到这里第64个和尚的任务完成，第63个和尚完成了第62个和尚交给他的任务的第一步。

　　从上面可以看出，只有第64个和尚的任务完成了，第63个和尚的任务才能完成，只有第2个和尚----第64个和尚的任务完成后，第1个和尚的任务才能完成。这是一个典型的递归问题。 现在我们以有3个盘子来分析：

第1个和尚命令：

          ① 第2个和尚你先把第一柱子前2个盘子移动到第二柱子。（借助第三个柱子）

          ② 第1个和尚我自己把第一柱子最后的盘子移动到第三柱子。

          ③ 第2个和尚你把前2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。

　　　很显然，第二步很容易实现（哎，人总是自私地，把简单留给自己，困难的给别人）。

其中第一步，第2个和尚他有2个盘子，他就命令：

          ① 第3个和尚你把第一柱子第1个盘子移动到第三柱子。（借助第二柱子）

          ② 第2个和尚我自己把第一柱子第2个盘子移动到第二柱子上。

          ③ 第3个和尚你把第1个盘子从第三柱子移动到第二柱子。

　　　同样，第二步很容易实现，但第3个和尚他只需要移动1个盘子，所以他也不用在下派任务了。（注意：这就是停止递归的条件，也叫边界值）

第三步可以分解为，第2个和尚还是有2个盘子，命令：

          ① 第3个和尚你把第二柱子上的第1个盘子移动到第一柱子。

          ② 第2个和尚我把第2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。

          ③ 第3个和尚你把第一柱子上的盘子移动到第三柱子。
                   
分析组合起来就是：1→3 1→2 3→2 借助第三个柱子移动到第二个柱子 |1→3 自私人留给自己的活| 2→1 2→3 1→3借助第一个柱子移动到第三个柱子|共需要七步。

如果是4个盘子，则第一个和尚的命令中第1步和第3步各有3个盘子，所以各需要7步，共14步，再加上第1个和尚的1步，所以4个盘子总共需要移动7+1+7=15步，同样，5个盘子需要15+1+15=31步，6个盘子需要31+1+31=64步……由此可以知道，移动n个盘子需要（2的n次方）-1步。

　　　从上面整体综合分析可知把n个盘子从1座（相当第一柱子）移到3座（相当第三柱子）：

（1）把1座上（n-1）个盘子借助3座移到2座。
（2）把1座上第n个盘子移动3座。
（3）把2座上（n-1）个盘子借助1座移动3座。

下面用hanoi（n,a,b,c）表示把1座n个盘子借助2座移动到3座。

 　　　　  (1)hanoi(n-1,1,3,2)

　　　　　(2)move(n,1,3)　
              (3)步上是 hanoi(n-1,2,1,3)
用C语言表示出来，就是：
#include <stdio.h>
int move(int n,char a, char b)
{
     printf("number..%d..form..%c..to..%c.."n",n,a,b);
     return 0;
}
int hanoi(int n,char a,char b,char c)
{
     if( n==1 ) move (1,a,c);
     else
          {
               hanoi(n-1,a,c,b);
               move(n,a,c);
               hanoi(n-1,b,a,c);
          };
     return 0;
}
int main()
{
     int num;
     scanf("%d",&num);
     hanoi(num,\'A\',\'B\',\'C\');
     return 0;
}