三角学，向量，矩阵和四元数（上）

Posted 2020-09-18 chaunceyctx

辣鸡楼主之前高中空间几何马马虎虎，所以基础的几何知识就不会再阐述了

 

2D坐标系

1.2D笛卡尔坐标系较为简单就没mark了

2.2D极坐标

i.使用两个变量定义一个点到原点（极点）的距离r，方向θ（与X轴正方向夹角），这里有个注意点左手坐标系中顺时针方向角度为正，而右手坐标系中逆时针方向角度为负。

右图θ可以使用arcsin或者arccos来计算

ii.主要应用：弹道，瞄准，导航方面

 

3D坐标系

1.3D笛卡尔也较为简单没mark

2.3D柱面坐标系

 

 

 

其实3D柱面坐标完全是由2D极坐标或者2D笛卡尔坐标转化而来，左图先根据2D极坐标知识确定p\'点再往屏幕外平移z个单位即可，右图也同理

2.3D球面坐标系

用两个角度和到原点距离确定顶点P（ρ，Ø，θ）ρ为到原点距离

 

一图胜千言:

由ρ确定圆锥，由Ø确定1,2,3,4点（最终点就是其中一个），由θ确定5,6,7,8点然后对应上去找到1,2,3,4其中某点即为所要的点

 　　　　　　　　　　　　　　转换公式

 

三角形：

i.直角也叫作底角

ii.1弧度 = 57.296°

注意点：计算sin cos tan慢，arc更加慢，应当确认是否确实需要知道角度值，若需要则可以用到查找表插值

iii.三角恒等变化

iV. //加粗为向量

I.有如下向量P1(x1,y1) P2(x2,y2)

　　　U = P1  -  P2 = (x2-x1,y2-y2) = <ux,uy>  (ux，uy为分量) 

  　　（terminal point   -   initial point）

 

II.向量长度即为范数||U||表示

 

III.计算单位向量 n\' = n / ||n||

 

IV.向量加法用平行四边形法则

V.向量减法

 

V.dot production

可以看出向量点乘是一个标量

应用：使用点乘可以计算出例如：物体A运动轨迹a，物体B运动轨迹b，求a在b上投影：

（要求：一看到这种式子就应马上想到投影）

Vi.cross production

（n为u和v构成平面的单位法向量，θ为uv两向量夹角）

计算n方法

等号右边为行列式，它的值即为n向量（i<1,0,0>，j<0,1,0>，k<0,0,1>为x，y，z轴上的单位向量）

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　今天内容就到这里，还有下集，欢迎指正和吐槽！XDDD