最大公约数(Gcd)算法(Euclid)

Posted 2020-09-18

　　转载自农夫三拳的一篇文章

　　欧几里德算法和扩展欧几里德算法

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d|b , d|r ，但是a = kb + r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

int gcd(int a, int b)
{
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b,a % b);
}

　　当然你也可以写成这种形式：

int gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
        int t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

　　补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得a * p+b * q = gcd(a, b)  (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int r = exgcd(b,a % b,x,y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;

    return r;
}

　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

　　可以这样思考:

　　对于a‘ = b, b‘ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘)

　　由于b‘ = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

　　那么可以得到:

　　a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘)  ===>

　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a‘, b‘) = Gcd(a, b)  ===>

　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)