欧几里得 &　拓展欧几里得算法 解说 （Euclid & Extend- Euclid Algorithm）

Posted 2020-09-26 jhcelue

欧几里得&　拓展欧几里得（Euclid & Extend-Euclid）

欧几里得算法（Euclid）

背景：

欧几里德算法又称辗转相除法。用于计算两个正整数a。b的最大公约数。

                                                                                                                                              ——百度百科

代码：

递推的代码是相当的简洁：

int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

分析：

方法说了是辗转相除法，自然没有什么好介绍的了。

。

Fresh肯定会认为这样递归下去会不会爆栈？实际上在这里是不会爆栈的，由于递归的层数是很小的，不信你能够随便拿一些大数測试一下，lrj的白书和紫书上讲到gcd函数的递归层数不超过40785lgN + 1.6723，当中N=max{a，b}。让gcd函数递归层数最多的是gcd（F(n),F(n-1)）。F(n)是Fibonacci数！！至于为什么博主没有证明。有想法的小伙伴麻烦在评论在说下下。(*^__^*) 嘻嘻……

拓展欧几里得（Extend- Euclid）

背景：

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y [x,y都是整数]，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在。依据数论中的相关定理）。

扩展欧几里德经常使用在求解模线性方程及方程组中。                                                                                                                                                                                                                      ——百度百科

用到的几个欧几里得重要结论：

1)            gcd(a,b) =  gcd(b,a %b);

2)            gcd(a,0) =  a.

代码：

typedef __int64 ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a, x = 1, y = 0;
    }
    else
    {
        exgcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

分析：

设例如以下两个方程：

ax+by  =  gcd(a,b)  =  d。

bx’+(a%b)y’  =  gcd(b,a%b)；

那么由重要结论（1）有gcd(a,b)  =  gcd(b,a %b)，

那么ax+by  =  bx’+(a%b)y’  =  bx’ +(a – [a/b]*b)y’  =  ay’ + b(x’ – [a/b]y’)，

由恒等关系有： x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’)，[a/b]表示a/b的值向下取整。

........

那么如今就能够用exgcd(a,b,d,x,y)表示方程ax+by = d，那么由上面一直递归下去，直到 b = 0。递归结束。此时  d = gcd(a,0) =a , x = 1,y =0;【由于 ax+0*y = gcd(a,0)嘛~】

拓展欧几里得的几个应用

求解不定方程

比如：求解不定整数方程ax+by = c

求ax+by = c。 令d =gcd(a,b);

那么(a / d ) * x + (b / d )* y = c / d

由于(a / d )、(b / d ) 、x、y都是整数，那么保证原不定整数方程ax+by = c有解的充要条件就是c / d为整数，即c是gcd(a,b)的倍数。

假设有解。那么令 K = c/d；

那么。对方程aX+bY = d；如果有拓展欧几里得求出一组解为(X0,Y0)。那么aX0+bY0 = d；等式两边同一时候乘以K，即K*( aX0+bY0 ) = d*K = c。由恒等关系。原方程的解（x0。y0）：

 X0 = KX0 = c/d * X0，y0 = KY0 = c/d *Y0。

不定方程的通解：

       若（x0，y0）是不定整数方程ax+by = c的一组解，则他的随意整数解都能够表示成（x0+ kb’, y0-ka’），当中a’ = a/gcd(a,b), b’ = b/gcd(a,b).

例题：

POJ  1061青蛙的约会  链接:    http://poj.org/problem?id=1061

求解模线性方程

方法跟上面类似。将同余方程转化为常规线性方程就能够了，跟上面一样，谈到同余方程的一个解时，事实上指的是一个同余等价类....

详细内容待补充...

求模的逆元

待补充…