洛谷P1351codevs3728 联合权值

Posted 2020-09-16

题目描述

无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生W_u×W_v 的联合权值。

请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为link .in。

第一行包含1 个整数n 。

接下来n - 1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数u 、v ，表示编号为 u 和编号为v 的点之间有边相连。

最后1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图G 上编号为i 的点的权值为W i 。

输出格式：

输出文件名为link .out 。

输出共1 行，包含2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G 上联合权值的最大值

和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007 取余。

输入输出样例

输入样例#1：

5  
1 2  
2 3
3 4  
4 5  
1 5 2 3 10 

输出样例#1：

20 74

说明

本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有( 1,3) 、( 2,4) 、( 3,1) 、( 3,5) 、( 4,2) 、( 5,3) 。

其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

【数据说明】

对于30% 的数据，1 < n≤ 100 ；

对于60% 的数据，1 < n≤ 2000；

对于100%的数据，1 < n≤ 200 , 000 ，0 < wi≤ 10, 000 。

思路：
这是一道NOIP(2014)的题并不是水题。
首先n个点，n-1条边，那这就是一棵树了。
我们思考一下，距离为2的点可以看成是一个点连向的任意两个不同的点。
对于第一个询问answer1，对于每个节点我们只要保存和它相邻的点权值最大的节点，在新加入一条边后，用新加入的节点的权值乘上原本最大的权值来更新答案，并且用新加入的节点的权值更新最大权值。
对于第二个询问，可以这么看

根据上面的这棵树(A-I为对应节点的点权)，对于点权为A的点，他连出去的点有点权为B、C的点，联合权值是2*BC，对于点权为B的点，他连出去的点有点权为A、D、E、F的点，联合权值是2*AD+2*AE+2*AF+2*DF+2*DE+2*EF,对于点权为C的点，他连出去的点有点权为A、G、H、I的点，联合权值是2*AG+2*AH+2*AI+2*GH+2*GI+2*HI;

这样问题显然就成为了一个数学问题，如果你有丰富的想象力，你看到2*xx，你就可以想到(a+b)2-a2-b2=2ab,那现在我们就可以化简上面的式子，对于某个节点x，他对answer2的贡献就是(∑W_SONi)²-ΣW_SONi²，现在问题就解决了。

喜闻乐见的Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 using namespace std;
 4 #define maxn 200010
 5 #define mod 10007
 6 int w[maxn],wsum[maxn],x[maxn],y[maxn],maxw[maxn];
 7 //w[i]:i的点权;
 8 //wsum[i]:与i相连的点的点权和;
 9 //maxw[i]:与i相连的点的点权最大值;
10 //x[i],y[i]配合使用,x[i]与y[i]相连,可以省去建树的过程;
11 int main() {
12     int n,ans1=0,ans2=0;
13     scanf("%d",&n);
14     for(int i=1;i<n;i++)
15         scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
16     for(int i=1;i<=n;i++)
17         scanf("%d",&w[i]);
18     for(int i=1;i<n;i++) {
19         int a=x[i],b=y[i];
20         ans2=(ans2+w[a]*wsum[b]+w[b]*wsum[a])%mod;
21         wsum[a]=(wsum[a]+w[b])%mod;
22         wsum[b]=(wsum[b]+w[a])%mod;
23         ans1=max(ans1,max(w[a]*maxw[b],w[b]*maxw[a]));
24         if(w[a]>maxw[b])maxw[b]=w[a];
25         if(w[b]>maxw[a])maxw[a]=w[b];
26     }
27     printf("%d %d\\n",ans1,ans2*2%mod);
28     return 0;
29 }
30 //By NuclearSubmarines

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