洛谷 P1351 联合权值（NOIp2014D1T2）

Posted 2020-10-02

题目描述

无向连通图G 有n 个点，n - 1 条边。点从1 到n 依次编号，编号为 i 的点的权值为W i ，每条边的长度均为1 。图上两点( u , v ) 的距离定义为u 点到v 点的最短距离。对于图G 上的点对( u, v) ，若它们的距离为2 ，则它们之间会产生Wu×Wv 的联合权值。

请问图G 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件名为link .in。

第一行包含1 个整数n 。

接下来n - 1 行，每行包含 2 个用空格隔开的正整数u 、v ，表示编号为 u 和编号为v 的点之间有边相连。

最后1 行，包含 n 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 i 个整数表示图G 上编号为i 的点的权值为W i 。

 

输出格式：

 

输出文件名为link .out 。

输出共1 行，包含2 个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G 上联合权值的最大值

和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对10007 取余。

 

输入输出样例

输入样例#1：

5  
1 2  
2 3
3 4  
4 5  
1 5 2 3 10 

输出样例#1：

20 74

说明

本例输入的图如上所示，距离为2 的有序点对有( 1,3) 、( 2,4) 、( 3,1) 、( 3,5) 、( 4,2) 、( 5,3) 。

其联合权值分别为2 、15、2 、20、15、20。其中最大的是20，总和为74。

【数据说明】

对于30% 的数据，1 < n≤ 100 ；

对于60% 的数据，1 < n≤ 2000；

对于100%的数据，1 < n≤ 200 , 000 ，0 < wi≤ 10, 000 。

 

【分析】

看数据猜复杂度，20w必然是留给0(nlogn)或者更低的复杂度的，肯定不能一个个枚举。

假设有4个数距离为2，权值分别为a,b,c,d,那么它们的联合权值就为(ab+ac+ad+bc+bd+cd)*2（注意点对<u,v>是有序的，所以乘2）.

再把含相同元素的结合在一起，得到联合权值为a*(b+c+d)+b*(a+c+d)+c*(a+b+d)+d*(a+b+c)，即与某点有关的联合权值为该点权值与与该点距离为2的点权值和的乘积。

这样就很好算了，复杂度大约是O(n)，常数可以不计。

 

【代码】

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define inf 0x7fffffff
 3 using namespace std;
 4 
 5 long long n, w[200005], a ,b, max1, max2, ans, tot, sum[200005];
 6 vector<int> v[200005];
 7 
 8 int main() {
 9     cin >> n;
10     for (int i=1;i<n;++i) {
11         scanf("%d%d", &a, &b);
12         v[a].push_back(b);
13         v[b].push_back(a);
14     }
15     for (int i=1;i<=n;++i)
16         scanf("%d", &w[i]);
17     for (int i=1;i<=n;++i) {
18         max1=max2=-inf;
19         for (size_t j=0;j<v[i].size();++j) {
20             //cout << v[i][j] << endl;
21             sum[i]+=w[v[i][j]];
22             sum[i]%=10007;
23             if (w[v[i][j]]>max1)
24                 max2=max1, max1=w[v[i][j]];
25             else if (w[v[i][j]]==max1 || w[v[i][j]]>max2)
26                 max2=w[v[i][j]];
27         }
28         ans=max(ans, max1*max2);
29         for (size_t j=0;j<v[i].size();++j) {
30             tot+=w[v[i][j]]*(sum[i]-w[v[i][j]])%10007;
31             tot%=10007;
32         }
33     }
34     cout << ans << " " << tot << endl;
35 }