BZOJ 2440: [中山市选2011]完全平方数 二分答案 + 容斥原理 + 莫比乌斯反演

Posted 2020-09-14 stupid_one

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2440

第一道莫比乌斯反演的题目。

二分答案 + 容斥那里还是挺好想的。

二分一个答案val，需要[1, val]之间存在的合法数字个数 >= k即可。

怎么判断呢？可以容斥，开始的时候有ans = val个，但是这里明显有些数字不符合。

ans -= ([1...val]中有多少个2^2倍  + [1...val]中有多少个3^2倍 + [1...val]中有多少个5^2倍) ......

但是减重复了，比如减去了2^2倍的，减去了3^2倍的，36就被减去了两次。

这个时候就要加回来。所以就要求出sqrt(val)之间有多少个素数，然后暴力dfs每一个素数选不选，一共选了多少个。

但是这样铁定超时啊，复杂度2^k（k为小于等于sqrt(val)中有多少个素数）

 

然后学了个新姿势Mobius反演。

具体东西如下：

 

那么换一种思路来快速求解[1, val]中合法数字的个数。

考虑暴力枚举 <= sqrt(val)中所有数字的平方倍。

也就是2^2、3^2、4^2......

那么每次就会有：

4、8、12、16、20、24、28、32、36

9、18、27、36、45、54、63、....

16、32、48、54、60、.....

....

36、72、108.....

每次都减去所有的这些倍数，显然不行，因为有些减多了。

第一、比如被2^2筛走的，4^2就无需再晒，注意到mu[4] = 0刚好满足。

第二、被2^2筛走了一次，又被3^2筛走了一次的，比如数字36，需要加回来，注意到mu[6] =  1也刚好满足。

所以公式是，可以暴力枚举 <= sqrt(val)中所有数字的平方倍。

ans += mu[i] * val / (i * i)

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;


#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>
const int maxn = 1e6 + 20;
int prime[maxn];//这个记得用int，他保存的是质数，可以不用开maxn那么大
bool check[maxn];
int total;
int mu[maxn];
void initprime() {
    mu[1] = 1; //固定的
    for (int i = 2; i <= maxn - 20; i++) {
        if (!check[i]) { //是质数了
            prime[++total] = i; //只能这样记录，因为后面要用
            mu[i] = -1; //质因数分解个数为奇数
        }
        for (int j = 1; j <= total; j++) { //质数或者合数都进行的
            if (i * prime[j] > maxn - 20) break;
            check[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[prime[j] * i] = 0;
                break;
            }
            mu[prime[j] * i] = -mu[i];
            //关键，使得它只被最小的质数筛去。例如i等于6的时候。
            //当时的质数只有2,3,5。6和2结合筛去了12，就break了
            //18留下等9的时候，9*2=18筛去
        }
    }
    return ;
}
int k;
bool isok(LL val) {
    LL ans = val;
    for (LL i = 2; i * i <= val; ++i) {
        ans += mu[i] * (val / (i * i));
    }
    return ans >= k;
}
void work() {
    scanf("%d", &k);
    LL be = 1, en = 2e9;
    while (be <= en) {
        LL mid = (be + en) >> 1;
//        cout << mid << endl;
        if (isok(mid)) {
            en = mid - 1;
        } else be = mid + 1;
    }
    printf("%d\\n", be);
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    initprime();
//    for (int i = 1; i <= 20; ++i) {
//        cout << mu[i] << "，";
//    }
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) work();
    return 0;
}

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