[BZOJ2440][中山市选2011]完全平方数

Posted 2020-09-25 xjr_01

[BZOJ2440][中山市选2011]完全平方数

试题描述

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

输入

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

输出

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

输入示例

4
1
13
100
1234567

输出示例

1
19
163
2030745

数据规模及约定

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9,T ≤ 50

题解

先二分答案 x，问题转化成求 [1, x] 中有多少个不包含完全平方因子的数。我们令这个完全平方因子为 t²，那么我们就可以容斥，t 含 0 个不同质因数情况 - t 含 1 个不同质因数情况 + t 含 2 个不同质因数情况 ...，于是莫比乌斯函数提供了一个天然的容斥的系数。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *Tail;
inline char Getchar() {
	if(Head == Tail) {
		int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
		Tail = (Head = buffer) + l;
	}
	return *Head++;
}
int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = Getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = Getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 1000001

int prime[maxn], cnt, mu[maxn];
bool vis[maxn];
void init() {
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < maxn; i++) {
		if(!vis[i]) prime[++cnt] = i, mu[i] = -1;
		for(int j = 1; prime[j] * i < maxn && j <= cnt; j++) {
			vis[prime[j]*i] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) { mu[prime[j]*i] = 0; break; }
			mu[prime[j]*i] = -mu[i];
		}
	}
	return ;
}

int calc(int x) {
	int m = sqrt(x + .5), res = 0;
	for(int i = 1; i <= m; i++) res += x / (i * i) * mu[i];
	return res;
}

int main() {
	init();
	
	int T = read();
	while(T--) {
		int K = read(),  l = 1, r = 2000000000;
		while(l < r) {
			int mid = l + (r - l >> 1);
			if(calc(mid) < K) l = mid + 1; else r = mid;
		}
		printf("%d\n", l);
	}
	
	return 0;
}