最长上升子序列（模板）

Posted 2020-09-11 yutingliuyl

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最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）以下我们简记为：LIS。

如果存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，我们能够非常轻松的看出来它的LIS长度为5。

可是假设一个序列太长后。就不能直接看出来了！

以下我们试着逐步找出答案。
我们定义一个序列B。然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。

此外，我们用一个变量Len记录眼下最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里。令B[1] = 2。表示当仅仅有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时的Len = 1。

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，表示长度为1的LIS的最小末尾是1。d[1]=2已经没用了，相同这时的Len = 1。

接着。d[3] = 5。d[3] > B[1]。所以令B[1+1] = B[2] = d[3] = 5，表示长度为2的LIS的最小末尾是5。这时候B[1..2] = 1, 5，这时的Len ＝ 2。

接着，d[4] = 3。它正好夹在了1和5之间，放在1的位置显然不合适，由于1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样非常easy推知。长度为2的LIS最小末尾是3，于是把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，这时Len = 2。

继续，d[5] = 6。它在3后面，由于B[2] = 3, 而6在3后面，于是非常easy能够推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，这时的Len = 3。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间。于是我们就能够把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4，相同这时Len = 3。

第7个, d[7] = 8，它非常大，比4大。于是B[4] = 8，这时的Len = 4。

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9。这时的Len = 5。

最后一个, d[9] = 7。它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7。B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，这时的Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它仅仅是存储的相应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就能够一个一个地插入数据。

尽管最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，可是假设后面再出现两个数字 8 和 9，那么就能够把8更新到d[5], 9更新到d[6]。得出LIS的长度为6。

最后我们发现：在B中插入数据是有序的，并且是进行替换而不须要挪动——也就是说，我们能够使用二分查找，将每个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就减少到了O(NlogN)。

一般的情况下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

int a[1007],dp[1007],n;

int LIS(int *a)
{
    int i,j,ans,m;
    dp[1] = 1;
    ans = 1;
    for(i = 2; i <= n; i++)
    {
        m = 0;
        for(j = 1; j < i; j++)
        {
            if(dp[j]>m && a[j]<a[i])
				m = dp[j];
        }
        dp[i] = m+1;
        if(dp[i]>ans)
			ans = dp[i];
    }
    return ans;
}

二分优化：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int a[40007], dp[40007], n;

int bin(int len,int k)
{
    int l = 1, r = len;
    while(l <= r)
    {
        int mid = (l+r)/2;
        if(k > dp[mid])
            l = mid+1;
        else
            r = mid-1;
    }
    return l;
}

int LIS(int *a)
{
    int i,j,ans=1;
    dp[1] = a[1];
    for(i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(a[i] <= dp[1])//假设比最小的还小
            j = 1;
        else if(a[i] > dp[ans])//假设比最大的还大
            j = ++ans;
        else
            j = bin(ans,a[i]);
        dp[j] = a[i];
    }
    return ans;
}