树与二叉树

Posted 2020-06-18 欣麒骥

树

定义

树是n(n≥0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或为非空树

非空树T满足以下条件：

(1) 有且仅有一个称为根的结点；

(2)除根结点以外的其余结点可分为m(m>0)个互补相交的有限集T1,T2,…Tm,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

                         空树

                       一般的树

基本术语

根———即根结点(没有前驱)

叶子———即终端结点(没有后继)

森林———指m棵不相交的树的集合

有序树———结点各子树从左至右有序，不能互换

无序树———结点各子树可互换位置。

双亲———即上层的那个结点(直接前驱)

孩子———即下层结点的子树的根(直接后继)

兄弟———同一双亲下的同层结点(孩子之间互称为兄弟)

堂兄弟———即双亲位于同一层的结点(但并非同一双亲)

祖先———即从根到该结点所经分支的所有结点

子孙———即该结点下层子树种的任一结点

结点———即树的数据元素

结点的度———结点挂接的子树数

结点的层次———从根到该结点的层数(根结点算第一层)

终端结点———即度为0的结点，即叶子

分支结点———即度不为0的结点(也称为内部结点)

树的度———所有结点度中的最大值

树的深度———指所有结点中最大的层数(或高度)

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二叉树

二叉树是一种特殊的树结构，普通树若不转化成二叉树，则运算很难实现

为什么要重点研究二叉树呢？

• 二叉树的结构最简单，规律性最强

• 所有的树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性。

定义：

每个节点至多有两个子树。

基本特点：

• 结点的度小于等于2

• 有序树(子树有序，不能颠倒)
  

                       二叉树的五种形态
  

二叉树的性质

性质1 ： 一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点(i≥1)。

性质2 ：若规定空树的深度为0，则深度为k的二叉树最多有(2^k)-1个结点

(k≥0)。

性质3： 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2n+1。

性质4 ：对于一棵非空二叉树，如果度为0的结点数目为n0，度为2的结点数目为n2，则有n0= n2+1。

性质5 ：对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上到下和从左到右的顺序对所有结点从1开始编号，则对于序号为i的结点，有：

1. 如果i>1，则序号为i的结点的双亲结点的序号为i/2(“/”表示整除)；如果i=1，则该结点是根结点，无双亲结点。

2. 如果2i≤n，则该结点的左孩子结点的序号为2i；若2i>n，则该结点无左孩子。

3. 如果2i+1≤n，则该结点的右孩子结点的序号为2i+1；若2i+1>n，则该结点无右孩子。

满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树。（意思是树上挂满了结点）

完全二叉树：深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应(意思是只有最后一层叶子不满，且全部集中在左边)

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