考研数据结构与算法树与二叉树

Posted 2022-08-23 MangataTS

考研数据结构与算法（六）树与二叉树

文章目录

• 考研数据结构与算法（六）树与二叉树
• • 一、树的概念和基础术语
  • • 1.1 定义
    • 1.2 基础术语
    • 1.3 树的性质
  • 二、二叉树
  • • 2.1 二叉树定义
    • 2.2 二叉树性质
    • • 2.2.1 满二叉树
      • 2.2.2 完全二叉树
    • 2.2.3 二叉排序树
    • • 2.2.4 平衡二叉树
      • 2.2.5 性质
    • 2.3 二叉树存储结构
    • • 2.3.1 顺序存储
      • 2.3.2 链式存储
    • 2.4 遍历二叉树
    • • 2.4.1 先序遍历
      • 2.4.2 中序遍历
      • 2.4.3 后序遍历
      • 2.4.4 递归转非递归
      • 2.4.5 层序遍历
    • 2.5 通过遍历序列构造二叉树
    • • 2.5.1 先序序列和中序序列构造二叉树
      • 2.5.2 中序序列和后序序列构造二叉树
      • 2.5.3 先序序列和后序序列构造二叉树
  • 三、线索二叉树
  • • 3.1 概念
    • 3.2 中序线索二叉树构造
    • 3.3 先序线索二叉树构造
    • 3.4 后序线索二叉树构造
  • 四、树和森林
  • • 4.1 树的存储结构
    • • 4.1.1 双亲表示法
      • 4.1.2 孩子表示法
      • 4.1.3 孩子兄弟表示法
    • 4.2 树、森林与二叉树互相转换
    • • 4.2.1 树转化为二叉树
      • 4.2.2 森林转化为二叉树
      • 4.2.3 二叉树转化为森林
    • 4.3 树和森林的遍历
    • 4.3.1 树的先根遍历
    • • 4.3.2 树的后根遍历
      • 4.3.3 森林的先序遍历
      • 4.3.4 森林的中序遍历
  • 五、二叉排序树
  • • 5.1 定义
    • 5.2 查找操作
    • 5.3 插入操作
    • 5.4 构造操作
    • 5.5 删除操作
    • 5.6 效率分析
  • 六、哈夫曼树（最优二叉树）
  • • 6.1 哈夫曼树的定义
    • 6.2 哈夫曼树构造
    • 6.3 哈夫曼编码
  • 七、平衡二叉树（目前没复习，等二轮补上）
  • 八、并查集
  • 九、错题
  • • 9.1 选择题
    • 9.2 简答题

一、树的概念和基础术语

1.1 定义

树是 $n(n>=0)$ 个节点的有限集。当 $n=0$ 时，称为空树。 在任意－非空树中应满足：

• ①有且仅有一个特定的称为根的结点
• ②当 $n>1$ 时， 其余节点可分为 $m(m>0)$个互不相交的 有限集 $T_1,T_2,T_3\dots \dots ,T_m$ ， 其中每个集合本身又是一颗树，并且称为根的子树。

显然，树的定义是递归的，即在树的定义中又用到了其自身，树是一种递归的数据结构。 树作为一种逻辑结构，同时也是一种分层结构，具有以下两个特点：

• 树的根结点没有前驱， 除根结点外的所有结点有且只有一个前驱
• 树中所有结点可以有零个或多个后继

从这个结构上来看的话，树是一个层级的结构，对于每一个非根节点而言，和上层只有一个结点关联，我们称这个上层结点为父节点 ，又由于根节点没有上层结点，那么我们会发现在 $n$ 个结点的树有且仅有 $n-1$ 条边

1.2 基础术语

对于一颗这样的树而言：

• 考虑结点 $K$ 。根 $A$ 到结点 $K$ 的唯一路径上的任意结点，称为结点 $K$ 的 祖先。 如结点 $B$ 是 结点 $K$ 的祖先，而结点 $K$ 是结点 $B$ 的子孙。路径上最接近结点 $K$ 的结点 $E$ 称为 $K$ 的双亲， 而 $K$ 为结点 $E$ 的孩子。根 $A$ 是树中唯一没有双亲的结点。有相同双亲的结点称为兄弟，如结点 $K$ 和结点 $L$ 有相同的双亲 $E$ ， 即 $K$ 和 $L$ 为兄弟。
• 树中一个结点的孩子个数称为该结点的度， 树中结点的最大度数称为树的度。 如结点 $B$ 的 度为 $2$ ，结点 $D$ 的度为 $3$ ，树的度为 $3$ 。
• 度大于 $0$ 的结点称为 分支结点（又称非终端结点)； 度为 $0$ （没有子女结点）的结点称为 叶子结点（又称终端结点)。
• 结点的深度是从根结点开始自顶向下逐层累加的，结点的高度是从叶结点开始自底向上逐层累加的。树的高度（或深度）是树中结点的最大层数。 上图中树的高度为 $4$ 。
• 有序树和无序树。树中结点的各子树从左到右是有次序的，不能互换，称该树为有序树，否则称为无序树 。
• 路径和路径长度。 树中两个结点之间的路径是由这两个结点之间所经过的结点序列构成 ，而路径长度是路径上所经过的边的个数。（注意：由于树中的分支是有向的，即从1又亲指向孩子，所以树中的路径是从上向下的， 同一双亲的两个孩子之间不存在路径）
• 森林是 $m(m>=0)$棵互不相交的树的集合。 森林的概念与树的概念十分相近，因为只要把树的根结点删去就成了森林。

1.3 树的性质

• 树中的结点数等于所有结点的度数加一
• 度为 $m$ 的树中第 $i$ 层上至多有 $m^{i-1}$ 个结点 $(i>=1)$
• 高度为 $h$ 的 $m$ 叉树至多有 $(m^h-1)/(m一1)$个结点。
• 具有 $n$ 个结点的 $m$ 叉树的最小高度为 $\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil$

小结：这一部分的考点应该会着重于围绕树的性质，比如第一条，给你某些度的结点数和总结点数，问你叶子节点的个数，类似，以及围绕其他性质可以衍生处更多问题

二、二叉树

2.1 二叉树定义

每一个结点至多只有两棵子树（即度小于等于 $2$ ），并且二叉树是一颗有序树，其子树有左右之分 ，同样的，节点数为 $0$ 的树为空树

二叉树的基本五种形态如下：

这里需要注意二叉树和度为 $2$ 的树的区别：

• ①度为 $2$ 的树至少有 $3$ 个结点，而二叉树可以为空
• ②度为 $2$ 的树没有左右次序的区分，而二叉树是一颗有序树有左右子树的区分

2.2 二叉树性质

在提性质前，先介绍两种特殊的二叉树：

2.2.1 满二叉树

简单理解一下，对于每一层的结点都塞满的树就是二叉树，比如说下图的就是高度为 $2、3$ 的满二叉树

不难发现一个点，一颗深度为 $k$ 且有 $2^k-1$ 个结点的二叉树为满二叉树

2.2.2 完全二叉树

对于一颗高度为 $k(k>1)$ 的二叉树其 $k-1$ 层是一颗满二叉树，并且第 $k$ 层是按照从左到右依次插入的结点就为完全二叉树，很显然一颗满二叉树也是一颗完全二叉树，而一颗完全二叉树不一定是满二叉树，我们看几个完全二叉树的例子：

2.2.3 二叉排序树

递归定义：

• 左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；
• 右子树上的所有结点的关键宇均大于根结点的关键宇；
• 左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。

2.2.4 平衡二叉树

树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过 $1$ 的二叉树即为平衡二叉树

2.2.5 性质

• 非空二叉树上的叶子结点数等于度为 $2$ 的结点数加 $1$, 即 $n_0=n_2+1$
• 非空二叉树上第 $k$ 层上至多有 $2^{k-1}$ 个结点
• 高度为 $h$ 的二叉树至多有 $2^n-1$ 个结点
• 对于完全二叉树而言，如果根节点是从 $1$ 开始计算的话，我们能得到一个有用的信息，即如果通过顺序存储二叉树，那么对于某一个分支节点假设为第 $k$ 个元素，那么其左儿子结点位置为： $2k$ 其右儿子结点位置为： $2k+1$ 的

2.3 二叉树存储结构

2.3.1 顺序存储

通过一组连续的地址进行存储每个结点（就是数组存储），我们按照从上到下，从左到右的次序依次将对应的结点放在对应的位置，显然根节点放在第一个位置（假设从 $1$ 开始计算），那么他的左儿子就是第二个位置，右儿子就是第三个位置，那么是一颗完全二叉树的话，就可以直接使用顺序存储，通过结点的位置我们也能很快的定位到

2.3.2 链式存储

因为树的结构不确定，不一定会是完全二叉树那样，所以使用顺序存储可能会造成大量的空间浪费，比如最极端的情况就是二叉树退化成链，那么这个时候，每增加一层，都会浪费 $2^i-1$ 个空间，于是为了提高空间利用率，我们还可以通过链式存储二叉树的每个结点，对于每新增一个结点我们只需要申请对于的空间，然后将他的父结点指向它即可。

很显然就能得到这个链式的结点形式：

struct Node 
    ElemType data;
    struct Node *lchild,*rchild;
;

2.4 遍历二叉树

对于一个二叉树而言，是由三个部分组成：根结点（ $N$ ），左子树（ $L$ ），右子树（ $R$ ），那么我们对这三部分的访问顺序进行变化就得到了最基础的三种序列访问方式，即先序遍历（ $NLR$ ），中序遍历（ $LNR$ ），后序遍历（ $LRN$ ）

2.4.1 先序遍历

字面意思，遍历方式：

1. 遍历根节点
2. 遍历左子树
3. 遍历右子树

不难得出递归代码：

void PreOrder(Node *root) 
    if(root) 
        visit(root);//访问根节点
        PreOrder(root->lchild);//访问左子树
        PreOrder(root->rchild);//访问右子树
    

2.4.2 中序遍历

字面意思，遍历方式：

1. 遍历左子树
2. 遍历根节点
3. 遍历右子树

不难得出递归代码：

void InOrder(Node *root) 
    if(root) 
        InOrder(root->lchild);//访问左子树
        visit(root);//访问根节点
        InOrder(root->rchild);//访问右子树
    

2.4.3 后序遍历

字面意思，遍历方式：

1. 遍历左子树
2. 遍历右子树
3. 遍历根节点

不难得出递归代码：

void PostOrder(Node *root) 
    if(root) 
        PostOrder(root->lchild);//访问左子树
        PostOrder(root->rchild);//访问右子树
        visit(root);//访问根节点
    

2.4.4 递归转非递归

假设有这样的一颗二叉树：

递归其实也就是利用了栈，我们分析用栈模拟的中序遍历的过程：

• ①沿着根的左孩子，依次入栈，直到左孩子为空，说明己找到可以输出的结点，此时栈内元素依次为 $A、B、D$
• ②栈顶元索出栈并访问：若其右孩子为空，继续执行操作②，若其右孩子不空，将右子树转执行操作①

以上面的二叉树为例，我们可以得到栈的空间使用过程如下：

操作次序	栈内空间	下一步进行的操作
1	NULL	①
2	$A$	①
3	$A、B$	①
4	$A、B、D$	②
5	以上是关于考研数据结构与算法树与二叉树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 树与二叉树 树与二叉树 (王道408考研数据结构)第五章树-第三节4：树与二叉树的转换 考研408数据结构之树与二叉树思维导图 树与二叉树之二--二叉树的性质与存储 C语言的世界-树与二叉树