NOIP2016 组合数问题

Posted 2020-09-08 日拱一卒 功不唐捐

https://www.luogu.org/problem/show?pid=2822

题目描述

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

 

输出格式：

 

t行，每行一个整数代表答案。

 

输入输出样例

输入样例#1：

1 2
3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有是2的倍数。

【子任务】

 

递推+二维前缀和

组合数递推公式：C（i，j）=C（i-1，j）+C（i-1，j-1）

预处理所有组合数%k是否为0，注意递推过程中取模，同时标记%k=0的位置

前缀和统计答案 sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+（模k是否为0）

注意特殊处理0

n²预处理  O(1)查询

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int t,k,c[2001][2001],sum[2001][2001],a[2001][2001];
void pre()
{
    for(int i=1;i<=2000;i++) 
    {
        c[i][0]=1%k,c[i][1]=i%k;
        if(!c[i][0]) a[i][0]++;
        if(!c[i][1]) a[i][1]++;
    }
    for(int i=2;i<=2000;i++)
     for(int j=2;j<=i;j++) 
      {
          c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
          if(!c[i][j]) a[i][j]++;
      }
    for(int i=1;i<=2000;i++) sum[i][0]=sum[i-1][0]+a[i][0],sum[0][i]=sum[0][i-1]+a[0][i];
    for(int i=1;i<=2000;i++)
    {
        for(int j=1;j<=2000;j++)
        sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
    }
     
}
int main()
{
    freopen("problem.in","r",stdin);
    freopen("problem.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&t,&k);
    pre();
    int n,m;
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",sum[n][m]);
    }
    return 0;
}

两个错误：

1、sum数组没有预处理0，sum[][0-1]出问题了

2、递推过程中第二维j循环到i，不能到2000，对C数组没有影响，

但对a数组来说，c未经赋值为0，错误统计