bzoj4517[Sdoi2016]排列计数 组合数+乘法逆元+dp

Posted 2020-09-08 GXZlegend

题目描述

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

输入

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

输出

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

样例输入

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

样例输出

0
1
20
578028887
60695423

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题解

组合数+乘法逆元+dp

题目中说n个数有m个稳定的，有n-m个不稳定的，那么我们可以从这n个数中选出m个作为稳定的数，其余的n-m个作为不稳定的数。

n选m需要用到组合数，然而n和m太大不能递推来求。

考虑到C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，我们可以先预处理阶乘模MOD的值，再用乘法逆元。

而这里的MOD为质数，根据费马小定理，a^p≡a(mod p)，即a^p-1≡1(mod p)，即a*a^p-2≡1(mod p)，即1/a≡a^p-2(mod p)

所以直接用快速幂求a^MOD-2就是乘法逆元。

然后是n-m个不稳定的，即错排，dp公式：f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])

解释：第n个物品有n-1个位置可选，假设选定了k位置，考虑k的选择分两种，不选n和选n。不选n的情况，将n看作k，即k不能选择自身，转化为f[n-1]；选N的情况即f[n-2]。

乘起来模上MOD即可。

#include <cstdio>
#define N 1000010
#define MOD 1000000007
typedef long long ll;
ll fac[N] , f[N];
ll qpow(ll x , int y)
{
	ll ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = (ans * x) % MOD;
		x = (x * x) % MOD , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int i , T , n , m;
	fac[0] = 1;
	for(i = 1 ; i <= 1000000 ; i ++ ) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
	f[0] = 1 , f[1] = 0;
	for(i = 2 ; i <= 1000000 ; i ++ ) f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]) % MOD;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		scanf("%d%d" , &n , &m);
		printf("%lld\n" , qpow(fac[m] , MOD - 2) * qpow(fac[n - m] , MOD - 2) % MOD * fac[n] % MOD * f[n - m] % MOD);
	}
	return 0;
}