模线性方程组

Posted 2020-09-07 哦！

 

#1303 : 数论六·模线性方程组

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描述

小Ho：今天我听到一个挺有意思的故事！

小Hi：什么故事啊？

小Ho：说秦末，刘邦的将军韩信带领1500名士兵经历了一场战斗，战死四百余人。韩信为了清点人数让士兵站成三人一排，多出来两人；站成五人一排，多出来四人；站成七人一排，多出来六人。韩信立刻就知道了剩余人数为1049人。

小Hi：韩信点兵嘛，这个故事很有名的。

小Ho：我觉得这里面一定有什么巧妙的计算方法！不然韩信不可能这么快计算出来。

小Hi：那我们不妨将这个故事的数学模型提取出来看看？

小Ho：好！

<小Ho稍微思考了一下>

小Ho：韩信是为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程：

x mod 3 = 2
x mod 5 = 4
x mod 7 = 6

韩信就是根据这个方程组，解出了x的值。

小Hi：嗯，就是这样！我们将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]。

小Ho：我怎么感觉这个方程组有固定的解法？

小Hi：这个方程组被称为模线性方程组。它确实有固定的解决方法。不过在我告诉你解法之前，你不如先自己想想怎么求解如何？

小Ho：好啊，让我先试试啊！

提示：模线性方程组

输入

第1行：1个正整数, N，2≤N≤1,000。

第2..N+1行：2个正整数, 第i+1行表示第i组m,r，2≤m≤20,000,000，0≤r<m。

计算过程中尽量使用64位整型。

输出

第1行：1个整数，表示满足要求的最小X，若无解输出-1。答案范围在64位整型内。

样例输入

　　　　3

　　　　3 2

　　　　5 3　　

　　　　7 2

样例输出

              23

  解线性同余方程，通过不断两两合并方程，最后得解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  ll long long
using namespace std;
const int N=1001;
ll m[N],r[N];
int n;
ll gcd(ll a,ll b) {
	return a%b==0 ? b : gcd(b,a%b);
}
void exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) {
	if(!b) x=1,y=0;
	else {
		exgcd(b,a%b,x,y);
		ll tmp=x;
		x=y;
		y=tmp-a/b*y;
	}
}
ll solve() {
	ll M=m[1],R=r[1];
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		ll d=gcd(M,m[i]);
		ll c=r[i]-R;
		if(c%d) return -1;
		ll k1,k2;
		exgcd(M/d,m[i]/d,k1,k2);
		k1=(c/d*k1) % (m[i]/d);
		R=R+k1*M;
		M=M/d*m[i];
		R%=M;
	}
	while(R<0) R+=M;
	return R;
}
int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&m[i],&r[i]);
    printf("%lld",solve());
    return 0;
}