如何使用拓展欧几里得算法求解模线性方程组（详解）

Posted 2020-12-05 wenzhixin

　　式子a≡b（mod n）称为a和b关于模n同余，它的充要条件是a-b是n的整数倍，即a-b=zn（其中z取整数）。

而模线性方程组ax≡b（mod n）可以写成ax-b=zn（其中z取整数）,移项可得

ax-zn=b，也即二元一次方程ax+by=c的形式，利用拓展欧几里得算法（extgcd）可以求解该方程是否有解及其一组解，并可根据该组解写出解系，进而求出一个特解，比如最小正整数解。

　　下面给出拓展欧几里得算法的程序。

 1 typedef long long LL;
 2 void extgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x0, LL &y0)
 3 {
 4     if(b == 0){
 5         d=a;x=1;y=0;
 6     }
 7     else{
 8         extgcd(b,a%b,d,y,x);
 9         y -= x*(a/b);    
10     }
11 }

 

　　其中a，b是系数，d表示a，b的最大公约数，x0，y0表示一组特解。

由gcd（a，b）= gcd（b,a%b）

得ax0 + by0 = gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = bx1 + (a%b)y1

其中a%b又可以写成a-a/b*b,

故又=bx1 + (a-a/b*b)y1

整理得 ay1 + b(x1-a/b*y1)

　　由系数相等的x0=y1,y0=(x1-a/b*y1);那么只要求出x1和y1即可求得x0和y0，故向下递归求x1，y1,如此递归一直求到gcd(an, 0) = an*xn + 0 * yn时，令xn=1，yn=0可满足该式，因为an*1+0*0=an=gcd(an, 0)。之后递归回退，直至求出x0，y0，而d也即a和b的最大公约数。

　　下面说如何判断是否存在整数解。

　　将ax+by=c两边同时除以d可得

a/d*x+b/d*y=c/d,因为d为a和b的最大公约数，所以a/d和b/d均为整数，故要求x和y的整数解，c/d必须为整数，否则无整数解。

综上，有如下结论:设a，b，c为任意整数,d=gcd（a，b),d=ax+by,若c是d的倍数，则存在整数解,否则不存在整数解。

　　下面说如何根据求得的一组解（x0，y0）求出解系，进而求出一组特解。

　　先用带入扩展欧几里得得出ax+b*y=gcd(a,b)的一个解x0,y0;

再观察两个式子：

           ax+b*y=c    0)

           a*x0+b*y0=d 1) ( 令d=gcd(a,b) )

将0)式两边都除以d，得：

          x*(a/d)+y*(b/d)=c/d

将1)式两边都乘以b/d与0)式比较：

      (x0*c/d)*a + (y0*c/d)*b=c 

　　a*x+b*y=c   0)

得x=x0*c/d,y=y0*c/d;

再将上面的结论完善一下：设a，b，c为任意整数,d=gcd（a，b),方程d=ax+by的一组解是（x0,y0）,当c是d的倍数，则线性方程组ax+by=c的一组解是（x0*c/d,y0*c/d）,当c不是d的倍数时无整数解。
接下来将一个解扩展成一个解系：

       1）除以d得： x0*(a/d)+y0*(b/d)=1

因为(a/d)和(b/d)互质，将方程写成：

      (x0+u*(b/d))*(a/d)+(y0+v*(a/d))*(b/d)=1即只需u*(b/d)*(a/d) + v*(a/d)*(b/d)=0即可；
所以x，y的解系可以写成 x=(x0+u*(b/d))*(a/d)

y=(y0+v*(a/d))*(b/d)

接下来就可以求满足方程的x的最小正整数了

所以xmin=(x0*(c/d)) mod (b/d)

具体例子是POJ的1061 青蛙的约会

https://www.cnblogs.com/wenzhixin/p/9343420.html