扩展欧几里德算法的应用

Posted 2020-09-09 kimsimple

 

感谢：http://blog.csdn.net/u014634338/article/details/40210435

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模的逆元；

（3）求解模线性方程（线性同余方程）；

 

一、解不定方程

 

   对于不定整数方程pa+qb=c，

　1.若 c mod gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
   2.在找到p * a+q * b = gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = gcd(p, q)的其他整数解满足：
  　　p = p0 + b/gcd(p, q) * t 
  　　q = q0 - a/gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

　　由此可以求出p * a+q * b = gcd(p, q)的一系列解

   3.至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  　在找到p * a+q * b = gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解

　　　p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  　p * a+q * b = c的其他整数解满足：

    p = p1 + b/gcd(a, b) * t

    q = q1 - a/gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

    p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

　　

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)///模板
{
    if(b==0)
    {            
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b, a%b, x, y);
    int t=y;
    y=x-(a/b)*y;    
    x=t;
    return r;
}
int main()
{
    int x,y,a=5,b=6,n=3;
    int ans=exgcd(a,b, x, y);
    if(n%ans){///无整数解
        printf("NO\n");
    }
    else
    {
        cout<<a<<"x+"<<b<<"y="<<ans<<"的一个整数解为:"<<endl;
        cout<<"x="<<x<<" "<<"y="<<y<<" "<<endl;
        cout<<"a*x+b*y=gcd(a,b)前10个解\n";
        int p=x+b/ans;///1.
        int q=y-a/ans;
        int o=1;
        while(1){
            if(o==10)break;
            cout<<"x="<<p<<" "<<"y="<<q<<" "<<endl;
            o++;
            p=x+b/ans*o;
            q=y-a/ans*o;
        }
        cout<<"a*x+b*y=n*gcd(a,b)前10个解\n";
        p = p*(n/ans);///2.
        q = q*(n/ans);
        o=1;
        while(1){
            if(o==10)break;
            cout<<"x="<<p<<" "<<"y="<<q<<" "<<endl;
            o++;
            p=x+b/ans*o;
            q=y-a/ans*o;
        }

        ///求最小整数解
        int t=x*n/ans;///3.
        int temp=b/ans;
        t=(t%temp+temp)%temp;
        int s=(n-a*t)/b;
        cout<<a<<"x+"<<b<<"y="<<n<<"的Xmin整数解为:"<<endl;
        cout<<"x="<<t<<" "<<"y="<<s<<" "<<endl;
    }
    return 0;
}

 

二、求乘法逆元

如果a×b≡1 mod n，则a、b互为乘法逆元（也就是(a*b)%n=1）。

 

扩展欧几里德算法不仅可以用来求两个正整数的最大公约数，如果这两个正整数互素，还能确定他们的逆元。

定义：如果整数b≥1，gcd(a , b)=1，那么a有一个模b的乘法逆元a-1，使得

a×a-1 ≡1mod b

在这里a-1叫做a模b的乘法逆元。

定理：若任给整数a＞0, b＞0, 则存在两个整数m, n使得

gcd(a, b) = ma + nb

若a与b互素，则ma + nb=1 (注：m,n具有相反的正负号) ，即

am ≡1 mod b

因此a模b的乘法逆元为m，若求出这个m，则求到了a模b的乘法逆元

 

若a与b不互素，则a模b没有乘法逆元！

 

一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

可以这样思考：

    x 的通解不是 x0 + n*t(n>=0的整数) 吗？

    那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

    可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？

    当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：

int cal(int a,int n)
{
    int x,y;
    int gcd(ex_gcd(a, n, x, y));
    if(1%gcd!=0)
    {
        return -1;
    }
    x*=1/gcd;
    n=abs(n);
    int ans=x%n;
    if(ans<=0)
        ans+=n;
    return ans;
}