遗传算法

Posted 2020-09-06 杜东洲

遗传算法

 

1 基本概念

　　遗传算法(GA)的概念是由Holland于1973年受生物进化论的启发而首次提出的。它是一种通过模拟生物界自然选择和遗传机制的随机搜索算法。

　　遗传算法基本思想是模拟自然界优胜劣汰的进化现象，把搜索空间映射为遗传空间，把可能的解编码成一个向量——染色体，向量的每个元素称为基因。 通过不断计算各染色体的适应值，选择最好的染色体，获得最优解。　

　　个体就是模拟生物个体而对问题中的对象（一般就是问题的解）的一种称呼，一个个体也就是搜索空间中的一个点。　　

　　种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体, 它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。　

　　适应度(fitness)就是借鉴生物个体对环境的 适应程度,而对问题中的个体对象所设计的 表征其优劣的一种测度。

　　适应度函数(fitness function)就是问题中的 全体个体与其适应度之间的一个对应关系。 它一般是一个实值函数。该函数就是遗传算 法中指导搜索的评价函数。　

　　染色体（chromosome）就是问题中个体的某种字符串形式的编码表示。字符串中的字符也就称为基因（gene）。

　　　　例如： 个体      染色体

　　　　　　　　9 ---- 1001

　　　（2，5，6）---- 010 101 110

　　遗传操作，也称遗传算子(genetic operator)，就是关于染色体的运算。遗传算法中有三种遗传操作:

　　　　选择-复制(selection-reproduction) 

　　　　　　通常做法是：对于一个规模为N的种群S,按每个染色体xi∈S的选择概率P(xi)所决定的选中机会，分N次从S中随机选定N个染色体, 并进行复制。

　　　　　　　　　　

　　　　交叉(crossover，亦称交换、交配或杂交) 

　　　　　　就是互换两个染色体某些位上的基因。

　　　　　　例如, 设染色体 s1=01001011, s2=10010101, 交换其后4位基因, 即：

　　　　　　　　　　

　　　　　　s1′=01000101, s2′=10011011 可以看做是原染色体s1和s2的子代染色体。

　　　　变异(mutation，亦称突变)

　　　　　　就是改变染色体某个(些)位上的基因。

　　　　　　例如, 设染色体 s=11001101 将其第三位上的0变为1, 即：

　　　　　　s=11001101 →11101101= s′。 s′也可以看做是原染色体s的子代染色体。

2遗传算法基本流程

　　

　　基本遗传算法步骤：

　　　　步1 在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T； 　

　　　　步2 随机产生U中的N个个体s1, s2, …, sN，组成初始种群S={s1, s2, …, sN}，置代数计数器t=1； 　

　　　　步3 计算S中每个个体的适应度f() ； 　　

　　　　步4 若终止条件满足，则取S中适应度最大的个体作为所求结果，算法结束。

　　　　步5 按选择概率P(xi)所决定的选中机会，每次从S中随机选定1个个体并将其染色体复制，共做N次，然后将复制所得的N个染色体组成群体S1；

　　　　步6 按交叉率Pc所决定的参加交叉的染色体数c，从S1中随机确定c个染色体，配对进行交叉操作，并用产生的新染色体代替原染色体，得群体S2；

　　　　步7 按变异率Pm所决定的变异次数m，从S2中随机确定m个染色体，分别进行变异操作，并用产生的新染色体代替原染色体，得群体S3； 　　

　　　　步8 将群体S3作为新一代种群，即用S3代替S，t = t+1，转步3；

3举例

例： 利用遗传算法求解区间［0,31］上的二次函数y=x2的最大值。

　　　　

　　分析：原问题可转化为在区间［0, 31］中搜索能使y取最大值的点a的问题。那么［0, 31］中的点x就是个体, 函数值f(x)恰好就可以作为x的适应度，区间［0, 31］就是一个(解)空间 。这样, 只要能给出个体x的适当染色体编码, 该问题就可以用遗传算法来解决。

　　(1) 设定种群规模,编码染色体，产生初始种群。

　　　　将种群规模设定为4；用5位二进制数编码染色体；取下列个体组成初始种群

　　　　S1: s1= 13 (01101), s2= 24 (11000) s3= 8 (01000), s4= 19 (10011)

　　(2) 定义适应度函数, 取适应度函数：f (x)=x*x

　　(3) 计算各代种群中的各个体的适应度, 并对其染色体进行遗传操作,直到适应度最高的个体(即31（11111）)出现为止。

　　　　首先计算种群S1中各个体s1= 13(01101), s2= 24(11000) s3= 8(01000), s4= 19(10011) 的适应度f (si) 。

　　　　容易求得 f (s1) = f(13) = 13*13= 169

　　　　　　　　 f (s2) = f(24) = 242*24= 576

　　　　　　　　 f (s3) = f(8) = 8*8 = 64

　　　　　　　　 f (s4) = f(19) = 19*19 = 361

　　　　再计算种群S1中各个体的选择概率。选择概率的计算公式为

　　　　　　　　

　　　　由此可求得 P(s1) = P(13) = 0.14

　　　　　　　　　 P(s2) = P(24) = 0.49

　　　　　　　　　 P(s3) = P(8) = 0.06

　　　　　　　　　 P(s4) = P(19) = 0.31

　　　　赌轮选择法：

　　　　　　在算法中赌轮选择法可用下面的子过程来模拟:

　　　　　　　　① 在［0, 1］区间内产生一个均匀分布的随机数r。 　　

　　　　　　　　② 若r≤q1,则染色体x1被选中。　　

　　　　　　　　③ 若qk-1<r≤qk(2≤k≤N), 则染色体xk被选中。 其中的qi称为染色体xi (i=1, 2, …, n)的积累概率, 其计算公式为

　　　　　　　　　　　　

　　（4）选择-复制　

　　　　设从区间［0, 1］中产生4个随机数如下:

　　　　　　r1 = 0.450126, r2 = 0.110347 r3 = 0.572496, r4 = 0.98503

　　　　

染色体	适应度	选择概率	积累概率	选中次数
s1=01101	169	0.14	0.14	1
s2=11000	576	0.49	0.63	2
s3=01000	64	0.06	0.69	0
s4=10011	361	0.31	1.00

　　　　　　于是，经复制得群体： s1’ =11000（24）, s2’ =01101（13） s3’ =11000（24）, s4’ =10011（19）

　　（5）交叉

　　　　设交叉率pc=100%，即S1中的全体染色体都参加交叉运算。

　　　　设s1’与s2’配对，s3’与s4’配对。分别交换后两位基因，得新染色体：

　　　　　　s1’’=11001（25）, s2’’=01100（12） s3’’=11011（27）, s4’’=10000（16）　　

　　（6）变异

　　　　设变异率pm=0.001。

　　　　这样，群体S1中共有 5×4×0.001=0.02 位基因可以变异。 0.02位显然不足1位，所以本轮遗传操作不做变异。

　　　　于是，得到第二代种群S2： s1=11001（25）, s2=01100（12） s3=11011（27）, s4=10000（16）

　　　　　　

 

　　显然，在迭代好多代种群中已经出现了适应度最高的染色体s1=11111。于是，遗传操作终止，将染色体“11111”作为最终结果输出。 　　

　　然后，将染色体“11111”解码为表现型，即得所求的最优解：31。 将31代入函数y=x2中，即得原问题的解，即函数y=x2的最大值为961。