常系数齐次线性微分方程

Posted 2020-09-05 ZhuangPark

二阶 变系数 齐次 线性微分方程：y‘‘+P(x)y‘+Q(x)y=0  _齐次就是右边等于0,P(x),Q(x)不是常数。

二阶 常系数 齐次 线性微分方程  y‘‘+py‘+qy=0  _其中p,q是常数。

 

假如y1,y2是y‘‘+py‘+qy=0 的解，那么通解的形式就是 C1y1+C2y2 = y

由于假如y=e^rx  y‘=re^rx  y‘‘=r²e^rx 

代入y‘‘+py‘+qy= r²e^rx + pre^rx + qe^rx = e^rx(r²+pr+q) = 0

所以 r²+pr+q=0

 

情况1  r²+pr+q=0 有两个不同的解,即 p² - 4q>0 

可解r1,r2。  C1e^r1x+C2e^r2x = Y

 

情况2  r²+pr+q=0 有相同的解r1=r2,即 p² - 4q = 0

r1=e^r1x1   既然y2/y1=u(x)  

y2=u(x) e^r1x  

y2‘=(u‘+r1u) e^r1x  

y2‘‘= (u‘‘+r1u‘)e^r1x+r1(u‘+r1u) e^r1x = (u‘‘+2r1u‘+r1²u)e^r1x

代入y‘‘+py‘+qy=0   

que^r1x + p(u‘+r1u) e^r1x+(u‘‘+2r1u‘+r1²u)e^r1x =0 -> e^r1x (qu+p(u‘+r1u)+ (u‘‘+2r1u‘+r1²u) )=0

-> u(q+r1p+r1²)+u‘(p+2r1)+u‘‘=0 -> u‘‘=0  

所以u‘ = C  u=Cx 且取 u=x!  所以y2=xe^r1x 

 Y=C1e^r1x  + C2xe^r1x 

 

情况3  r²+pr+q=0 有一对共轭解r1=a+pi   r2=a-pi  即 p² - 4q < 0 

此时本应该 y1=e^r1x=e^(a+pi)x   y2=e^(a-pi)x  但这种形式不好！

要用 e^io=cos(o)+isin(o)  结果得到y1=e^ax e^pix=e^ax(cos(px)+isin(px)) y2同理

最后y1 y2处理

Y1=(y1+y2)/2=e^ax cos(px)  

Y2=(y1-y2)/2=e^ax sin(px)

Y=C1Y1+C2Y2=e^ax (C1cos(px)  + C2sin(px))