关于二阶非齐次常系数线性微分方程特解的解法

Posted 2021-03-10 rrrrraulista

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了关于二阶非齐次常系数线性微分方程特解的解法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

关于二阶非齐次常系数线性微分方程特解的解法

关于二阶非齐次常系数线性微分方程特解的解法

考研期间遇到的一个很强大的解题技巧，但是步骤依然要用待定系数法写，不然没有过程分（口口相传，待考证），不过熟练掌握此方法可以极大的节约答题时间，遂本人讲看到的几份对自己收获大的资料进行总结整理，本着分享学习精神，写出以下文章。如有谬误，望大家不吝赐教。

若并不关心原理证明之类的，则可以直接看性质，或看例题（虽然我这么懒大概率不会往上敲例题）。

希望能给各位带来帮助，难理解之处我会添加注释 //

一、定义

二阶非齐次常系数线性微分方程的一般形式如下：
[ frac{d^2y}{dx^2}+pfrac{dy}{dx}+qy=f(x)，(p、q为常数) ]
引入微分算子：
[ frac{d}{dx}=D，frac{d^2}{dx^2}=D^2，cdots，frac{d^n}{dx^n}=D^n ]
于是有：
[ frac{dy}{dx}=Dy，frac{d^2y}{dx^2}=D^2y，cdots，frac{d^ny}{dx^n}=D^nyfrac{1}{D^n}=underbrace{intcdotsint}_{共n次} f(x)(dx)^nfrac{1}{D+K}f(x)=frac{1}{K}(1-frac{D}{K}+cdots+(-1)^nfrac{D^n}{K^n}+cdots)f(x) ]
则(1)式可以简化为：
[ egin{align} f(x)&=qy+pDy+D^2y&=(D^2+pD+q)y::&=F(D)y，称F(D)为“算子多项式” end{align} ]
则式（1）的特解(y^*)为：
[ y^*=frac{1}{F(D)}f(x) ]

二、引理若干

这些我才懒得证明，别想了哼 (ˉ▽￣～)

2.1.1 算子多项式性质

设(f(x)、g(x))为可微函数：则有

(F(D)[alpha f(x)+eta g(x)]=alpha F(D)f(x)+eta F(D)g(x))
设(F(D)=F_1(D)F_2(D))，则有(F(D)f(x)=F_1(D)[F_2(D)f(x)]=F_2(D)[F_1(D)f(x)])
设(F(D)=F_1(D)+F_2(D))，则(F(D)f(x)=F_1(D)f(x)+F_2(D)f(x))

2.1.2 算子多项式の公式

设k,a为任意常数，v(x)为二阶可导多项式，则

(F(D)e^{kx}=e^{kx}F(k))
(F(D^2)sin{ax}=sin{ax}F(-a^2)、F(D^2)cos{ax}=cos{ax}F(-a^2))
(F(D)e^{kx}v(x)=e^{kx}F(D+k)v(x))
(F(D)xv(x)=xF(D)v(x)+F'(D)v(x))

三、一些性质

3.1 逆算子移位原理

[ frac{1}{F(D)}e^{kx}v(x)=e^{kx}frac{1}{F(D+k)}v(x) ]

若(F(k) eq0)，则：

[ frac{1}{F(D)}e^{kx}=e^{kx}frac{1}{F(k)}，此时F(k)已然是数值 ]

若(F(k)=0)，则说明 k 为(F(k)=0) 的 m 重根，则有：

[ frac{1}{F(D)}e^{kx}=x^mfrac{e^{kx}}{F^{(m)}(k)} ]

3.2 关于三角函数

欧拉公式：
[ e^{reta x}=cos{eta x}+isin{eta x}cos{eta x}=Re[e^{ieta x}]，称为实部sin{eta x}=Im[e^{ieta x}]，称为虚部 ]

当(F(-a^2) eq0)时：

[ frac{1}{F(D^2)}sin{ax}=frac{sin{ax}}{F(-a^2)}frac{1}{F(D^2)}cos{ax}=frac{cos{ax}}{F(-a^2)}]

当(F(-a^2)=0)时：

[ frac{1}{F(D^2)}sin{ax}=xfrac{1}{F'(D^2)}sin{ax}frac{1}{F(D^2)}cos{ax}=xfrac{1}{F'(D^2)}cos{ax}]

[ frac{1}{F(D^2)}sin{ax}=Im[frac{e^{iax}}{F(ia)}]frac{1}{F(D^2)}cos{ax}=Re[frac{e^{iax}}{F(ia)}]]

3.3 含多项式的情况

设 k 为任意实数，v（x）为二阶可导函数，则：

[ frac{1}{F(D)}P_m(x)=Q_m(D)P_m(x) ]

[ frac{1}{F(D)}xv(x)=[x-frac{1}{F(D)}F'(D)]frac{1}{F(D)}v(x) ]

四、公式（8）~（16）证明

引理（1）：若(p(x))为多项式，(v(x))为任意函数，那么有：
[ p(D)e^{lambda x}v(x)=e^{lambda x}p(D+lambda)v(x) ]

引理（2）：设(f_p(x))为 p 次多项式，即(f_p(x)=a_0x^p+a_1x^{p-1}+cdots+a_p)，那么：
[ frac{1}{prod_{i=1}^m(D+K)}f_p(x) ]
仍为 p 次多项式。

[ egin{align} &ecausefrac{1}{D+K_1}f(x)=frac{1}{K_1}(frac{1}{1+frac{D}{K_1}})f_p(x)=frac{1}{K_1}(1-frac{D}{K_1}+cdots+(-1)^nfrac{D^n}{K_1^n}+cdots)f_p(x)&ecause D^{n+1}f_p(x)=0,& herefore frac{1}{D+K_1}f(x)=frac{1}{K_1}(1-frac{D}{K_1}+cdots+(-1)^nfrac{D^n}{K_1^n})f_p(x)& hereforefrac{1}{prod_{i=1}^m(D+K_i)}f_p(x)=[frac{1}{D+k_m}[cdots[frac{1}{D+K_1}f_p(x)]]]，仍为p次多项式 end{align} ]

五、一些例子

(frac{d^2y}{dx^2}+y=xcos{2x}，F(D)=1+D^2)

[ egin{align} 特解：y^*&=frac{1}{1+D^2}xcos{2x}&=Re[frac{1}{1+D^2}xe^{2ix}]&=Re[e^{2ix}frac{1}{1+(D+2i)^2}x]，移位原理&=Re[e^{2ix}frac{1}{D^2+4iD-3}x]，（*）这一步我会贴图&=Re[e^{2ix}(-frac{1}{3}-frac49iD)x]&=Re[(cos{2x}+isin{2x})(-frac{1}{3}x-frac49i)],D::=frac{dy}{dx}&=frac{1}{3}xcos{2x}+frac{4}{9}sin{2x} end{align} ]

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