[SinGuLaRiTy] 米勒罗宾素数判定法

Posted 2020-09-05 SinGuLaRiTy2001

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背景

数论学家利用费马小定理研究出了多种素数测试办法，Miller-Rabbin 素数测试算法是其中较快的一种。

步骤

（1）计算奇数M，使得N=2^r * M + 1；

（2）选择随机数A<N；

（3）对于任意i<r,若A^(2^i*M) mod N = N - 1，则N通过随机数A的测试；

（4）或者，若A^M mod N = 1，则N通过随机数A的测试；

（5）让A取不同的值对N进行行多次测试（一般要求5~10次，有较高要求的话可以进行20~30次），若全部通过则判定N为素数；

概率

若N通过一次测试，则N不是素数的概率为25%；

若N通过 t 次测试，则N不是素数的概率为1/( 4 ^ t )；

事实上，当 t = 5 时，N不是素数的概率已为1/128，已经大于99.99%。

在实际运用中，可首先用300~500个小素数对N进行测试，以提高测试通过的概率与算法的速度。在随机生成的素数中，选取的随机数最好让 r = 0，则可以省去步骤（3）的操作，进一步减少判定时间。

代码

#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int count=10;
int modular_exp(int a,int m,int n)
{
    if(m==0)
        return 1;
    if(m==1)
        return (a%n);
    long long w=modular_exp(a,m/2,n);
    w=w*w%n;
    if(m&1)
        w=w*a%n;
    return w;
} 
bool Miller_Rabin(int n)
{
    if(n==2)
        return true;
    for(int i=0;i<count;i++)
    {
        int a=rand()%(n-2)+2;
        if(modular_exp(a,n,n)!=a)
            return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    srand(time(NULL));
    int n;
    scanf("%d",&n);
    if(Miller_Rabin(n))
        printf("Probably a prime.");
    else
        printf("A composite.");
    printf("\n");
    return 0;
}

 

Time：2017-02-07